2019高中数学 课时分层作业4 排列的综合应用 新人教A版选修2-3

课时分层作业(四) 排列的综合应用

(建议用时：40分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．某天上午要排语文，数学，体育，计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有( )

A．6种 C．18种

1

B．9种 D．24种

3

C [先排体育有A3种，再排其他的三科有A3种，共有3×6＝18(种)．] 2．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有( )

【导学号：95032039】

A．720 C．240

B．360 D．120

C [因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A5种排法，但甲、乙两人之间有A2种排法．

由分步乘法计数原理知，共有A5A2＝240种不同的排法．]

3．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为( ) A．36 C．40

B．30 D．60

1

52

5

2

A [奇数的个位数字为1,3或5，所以个位数字的排法有A3种，十位数字和百位数字的排法种数有A4种，故奇数有A3·A4＝3×4×3＝36个．]

4．5人排成一排，其中甲，乙至少一人在两端的排法种数为( )

【导学号：95032040】

A．6 C．24

5

2

1

2

B．84 D．48

23

5

23

B [5人全排列有A5种，甲，乙都不在两端的排法有A3A3种，共有A5－A3A3＝84种不同的排法．]

5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lgb的不同值的个数是( )

A．9 C．18

B．10 D．20

2

C [从1,3,5,7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A5＝20，但lg 1－lg 3＝lg 3－lg 9，lg 3－lg 1＝lg 9－lg 3，所以不同值的个数为20－2＝18，故选C.]

二、填空题

1

6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)

【导学号：95032041】

36 [分三步分别选出文娱委员、学习委员、体育委员，共有A3A4A3＝36种选法．] 7．从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax＋bx＋c中的参数a，b，

2111

c，可组成不同的二次函数共有________个．

18 [若得到二次函数，则a≠0，a有A3种选择，故二次函数有A3A3＝3×3×2＝18(个)．] 8．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个.

【导学号：95032042】

448 [千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2,0)，(3,1)，…，(9,7)前一个数为千位数字，后一个数为个位数字．其余两位无任何限制，所以共有8A8＝448个．]

三、解答题

9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？ (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？

[解] (1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A5种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A6种排法，故共有不同排法A5A6＝14 400种．

(2)先不考虑排列要求，有A8种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A5A4种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A8－A5A4＝37 440种．

10．用0,1,2,3,4,5这六个数字： (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数；

(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数； (3)能组成多少个比1 325大的四位数.

【导学号：95032043】

[解] (1)符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个数时有A5个；

第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A4种，十位和百位从余下的数字中选，有A4种，于是有A4·A4个；

第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A4·A4个．

由分类加法计数原理知，共有四位偶数A5＋A4·A4＋A4·A4＝156(个)．

(2)五位数中是5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有A5个；个位数上的数字是5的五位数有A4·A4个．

2

1

3

4

3

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

3

8

44

44

8

6

26

2

2

1

12

故满足条件的五位数的个数共有A5＋A4·A4＝216(个)． (3)比1 325大的四位数可分为三类： 第一类：形如2 个；

第二类：形如14

，15

，共A2·A4个；

1

11

2

413

，3 ，4 ，5 的数，共A4·A5

13

第三类：形如134 ，135 ，共A2·A3个．

由分类加法计数原理知，比1 325大的四位数共有A4·A5＋A2·A4＋A2·A3＝270(个)．

[能力提升练]

一、选择题

1．3张卡片正反面分别标有数字1和2,3和4,5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为( )

A．30 C．60

B．48 D．96

1

3

1

2

1

1

B [“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A3；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到A3×2×2×2＝48个不同的三位数．]

2．安排6名歌手演出的顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是( )

A．180 C．360

6

3

3

B．240 D．480

3

D [不同的排法种数先全排列有A6，甲、乙、丙的顺序有A3，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，4种顺序，所以不同排法的种数共A6

有4×3＝480种．]

A3

二、填空题

3．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是________.

【导学号：95032044】

36 [将3,4两个数全排列，有A2种排法，当1,2不相邻且不与5相邻时有A3种方法，当1,2相邻且不与5相邻时有A2·A3种方法，故满足题意的数的个数为A2(A3＋A2·A3)＝36.]

4．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻， 且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．

36 [先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有A4种摆法，而A，B可交换位置，所以有2A4＝48种摆法，又当A，B相邻又满足A，C相邻，有2A3＝12种摆法，故满足条件

3

4

34

2

2

2

3

2

2

2

3

6

的摆法有48－12＝36种．]

三、解答题

5．有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)女生互不相邻.

【导学号：95032045】

[解] (1)法一：元素分析法．先排甲有6种，再排其余人有A8种，故共有6·A8＝241 920(种)排法．

法二：位置分析法．中间和两端有A8种排法，包括甲在内的其余6人有A6种排法，故共有A8·A6＝336×720＝241 920(种)排法．

法三：等机会法.9个人全排列有A9种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意69

得，甲不在中间及两端的排法总数是A9×＝241 920(种)．

9

法四：间接法．A9－3·A8＝6A8＝241 920(种)． (2)先排甲、乙，再排其余7人． 共有A2·A7＝10 080(种)排法．

(3)插空法．先排4名男生有A4种方法，再将5名女生插空，有A5种方法，故共有A4·A5

＝2 880(种)排法．

88

36

36

9

988

27

4545

4