平面向量数量积运算专题（附答案）

答案 (1)A (2)5

解析 (1)因为平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120°， 所以|2a＋b|＝?2a?2＋b2＋2×|2a|×|b|cos 120° ＝

1－?＝2. 22×12＋22＋2×2×1×2×??2?(2)方法一 以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.

∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)， →→

PA＝(2，－x)，PB＝(1，a－x)， →→

∴PA＋3PB＝(5,3a－4x)， →→

|PA＋3PB|2＝25＋(3a－4x)2≥25， →→

∴|PA＋3PB|的最小值为5. →→

方法二 设DP＝xDC(0

2→→5→→∴PA＋3PB＝DA＋(3－4x)DC，

2

25→5→→→→→→

|PA＋3PB|2＝DA2＋2××(3－4x)DA·DC＋(3－4x)2·DC2＝25＋(3－4x)2DC2≥25，

42→→

∴|PA＋3PB|的最小值为5.

点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝x2＋y2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：|a|＝a2.

9

1

变式训练3 (2015·浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2

2＝1，则|b|＝________. 答案

23 3

1

解析 因为|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝.所以e1与e2的夹角为60°.又因为b·e1＝b·e2＝1，所以b·e1

2－b·e2＝0，即b·(e1－e2)＝0，所以b⊥(e1－e2).所以b与e1的夹角为30°，所以b·e1＝|b|·|e1|cos 30°＝1. 所以|b|＝

233

. 高考题型精练

1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD→

等于( ) A.－32a2

B.－3

4a2

C.34a2 D.32

a2 答案 D

解析 如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.

BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°＝a2＋a2－2a·a×??－1

2??＝3a2， ∴BD＝3a.

∴BD→·CD→＝|BD→||CD→

|cos 30°＝3a2×3＝3a222

.

2.(2014·浙江)记max{x，y}＝???x，x≥y，??y，x

?设a?

x，x

，b为平面向量，则( A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

10

)

C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2 答案 D

解析 由于|a＋b|，|a－b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A，B错.当a，b夹角为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；当a，b夹角为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时，|a－b|2>|a|2＋|b|2；当a⊥b时，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故选D.

→

3.(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA→→

＋PB＋PC|的最大值为( ) A.6 C.8 答案 B

解析 ∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，

→→→→

∴AC为圆直径，故PA＋PC＝2PO＝(－4,0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，PB＝(x－2，y)，

→→→→→→

∴PA＋PB＋PC＝(x－6，y).故|PA＋PB＋PC|＝－12x＋37，∴x＝－1时有最大值49＝7，故选B.

4.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB→→→

的垂线l，P为垂线上任一点，设OA＝a，OB＝b，OP＝p，则p·(b－a)等于( )

B.7 D.9

1A.－ 23C.－ 2答案 A

解析 以OA，OB所在直线分别作为x轴，y轴，

1B. 23D. 2

11

O为坐标原点建立平面直角坐标系， 31

则A(1,0)，B(0,1)，C(，)，

4413

直线l的方程为y－＝x－，

441

即x－y－＝0.

2

11

设P(x，x－)，则p＝(x，x－)，

22而b－a＝(－1,1)，

11

所以p·(b－a)＝－x＋(x－)＝－. 22

→→→→→→→→1→

5.在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则|OA|的取值范围是( )

2A.(0，C.(5] 2

B.(D.(

57，] 227

，2] 2

5

，2] 2

答案 D

1

解析 由题意，知B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心，为半径的圆的内

2部.

→→→→→又AB1⊥AB2，AP＝AB1＋AB2， 所以点A在以B1B2为直径的圆上， →

当P与O点重合时，|OA|取得最大值2， 17→

当P在半径为的圆周上时，|OA|取得最小值，

22故选D.

→→→→

6.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，点M满足BM＝3MA，则CM·CB等于( )

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