平面向量数量积运算专题（附答案）

平面向量数量积运算

题型一 平面向量数量积的基本运算

例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC→→上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE·AF＝1，则λ的值为________.

→→(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA·PB的最小值为( ) A.－4＋2 C.－4＋22

B.－3＋2 D.－3＋22

→→→→→变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝________.

题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝为( ) ππ3πA.B.C. 424

D.π

22

|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角3

π

(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦

3值等于( ) 111A.B.－C. 262612

1

D.－

12

→1→→→

变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与

2→

AC的夹角为________.

1

题型三 利用数量积求向量的模

例3 (1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120°，则|2a＋b|等于( ) A.2 C.25

B.4 D.6

(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，→→

则|PA＋3PB|的最小值为________.

1

变式训练3 (2015·浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2

2＝1，则|b|＝________.

高考题型精练

→→

1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD等于( ) 3A.－a2

23C.a2 4

3B.－a2

43D.a2 2

???x，x≥y，?y，x≥y，

2.(2014·浙江)记max{x，y}＝?min{x，y}＝?设a，b为平面向量，则( )

?y，x

A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2

2

→

3.(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA→→

＋PB＋PC|的最大值为( ) A.6 C.8

B.7 D.9

4.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB→→→

的垂线l，P为垂线上任一点，设OA＝a，OB＝b，OP＝p，则p·(b－a)等于( )

1A.－ 23C.－ 2

1B. 23D. 2

→→→→→→→→1→

5.在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则|OA|的取值范围是( )

2A.(0，C.(5] 2

B.(D.(

57，] 227

，2] 2

5

，2] 2

→→→→

6.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，点M满足BM＝3MA，则CM·CB等于( )

A.2 C.4

B.3 D.6

7.(2014·安徽)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为( ) 2πππ

A. B. C. D.0 336

→→→→8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，

3

→→则AB·AD的值是________.

9.设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acos θ－bsin θ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝

3

，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________. 2

→→→

10.如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈AB，AC〉＝60°，则|OA|＝________.

3

11.已知向量a＝(sin x，)，b＝(cos x，－1).当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；

4

→5→

12.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足AD＝DB.

11→→(1)求|AB－AC|；

→→→→

(2)存在实数t≥1，使得向量x＝AB＋tAC，y＝tAB＋AC，令k＝x·y，求k的最小值.

4