高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.1 第2课时 排列的综合应用学案 新人教A版选修2-3

-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------

的元素做全排列有A4种排法，故共有A4A3A4＝288(个)六位奇数．

法三：排除法

6个数字的全排列有A6个，0,2,4在个位上的六位数为3A5个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A4个，故满足条件的六位奇数共有A6－3A5－3A4＝288(个)．

(2)法一：排除法

0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A5个，0在十万位且5在个位的六位数有A4个．

故符合题意的六位数共有A6－2A5＋A4＝504(个)． 法二：直接法

十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类： 第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A5个． 第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A4A4A4个． 故共有符合题意的六位数A5＋A4A4A4＝504(个)． (3)用直接法

①当千位上排1,3时，有A2·A3·A4个． ②当千位上排2时，有A2·A4个．

③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A3个；形如41××的有A3·A2个，形如43××的只有4 310和4 302这两个数．

故共有A2·A3·A4＋A2·A4＋2A3＋A2·A3＋2＝110(个)．

母题探究：1.本例条件不变，能组成多少个能被5整除的五位数？ [解] 个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有A5个；若个位上是5，若不含0，则有A4个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A3种排法，其余各位有A4种排法，故共有A5＋A4＋A3A4＝216(个)能被5整除的五位数． 2．本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项？ [解] 由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A5个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A4个数，所以240 135的项数是A5＋3A4＋1＝193，即240 135是数列的第193项． [规律方法] 解排数字问题常见的解题方法 1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”． 2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏． 3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数． 4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好． 4545441341341

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

21

1

2

5

114

1145

6

5

4

4

5

4

6

5

4

6

5

4114

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-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------

[当 堂 达 标·固 双 基]

1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( ) A．36 C．720

B．120 D．240

6

C [由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A6＝720.]

2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )

A．240种 C．480种

B．360种 D．720种

5

C [先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A5＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]

3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．

144 [先排奇数位有A4种，再排偶数位有A3种，故共有A4A3＝144个．]

4．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．

24 [分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A2＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A2＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A3＝6种排法．

则共有2×2×6＝24种排法．]

5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？

[解] 法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类： 第1类，甲不参赛，有A5种参赛方案；

第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A5种方法，此时有2A5种参赛方案．

由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A5＋2A5＝240种． 法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A5种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A4种方法．

由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A5A4＝240种．

22

2

2

4

3

3

34

3

2

2

4

3

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