用射影几何方法处理中学几何作图题概要

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

摘 要

本文对射影几何中完全四点形的调和性质、不可到达点、二次曲线的射影理论进行了归纳整理，并从中学几何与射影几何之间的本质联系出发，把射影几何的理论应用于中学几何的作图问题中，解决用初等方法不易解决的中学几何作图问题，以达到化难为易，拓广解题思路的目的，从而发挥射影几何对中学几何的指导作用。 关键词：射影几何；调和性质；不可到达点；二次曲线

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Abstract

In this paper,we have consolidated the complete quadrangle's harmomic property,point of infinity,and projective theory of a conic,and linked the nature of the elementaru geometry and projective geometry, focused on the application of the theory of the projective geometry in the issue of mapping in elementary geometry.Thus achieved to make the difficult problem easy, and developed the broad problem solving mentality,and further more,obtained certain promotion of elementary geometry proposition,by this we can supplyment and consummate the elementary geometry content.

Key word:projective geometry;hamomic property;point of infinity;tangence of a conic

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第一章 射影几何对中学几何的指导作用

射影几何作为一门几何课程，有着自身特殊的作用，它对中学几何的教学研究有具体的指导意义。射影几何为我们提供解决中学几何问题的思想方法，对于 我们思考和解决问题有重要的指导作用。

中学几何是一种可测量的几何，比较直观、易懂，而射影几何较抽象、难理解，但射影几何是中学几何的延伸课程，二者之间有很深的渊源。射影几何与中学几何之间的沟通，为我们提供了解决中学几何的一些方法。

中学几何中有许多概念、定义和定理都可以用射影几何的较高观点去阐释，使学者开阔眼界、加深理解，以中学平面几何为例，在射影几何中关于二次曲线的射影、仿射和度量性质的讨论，使我们对中学平面解析几何的内容有了更深的认识。例如：二次曲线的射影定义使我们对二次曲线的本质有了很好的把握；在射影观点下，二次曲线的中心、直径、渐近线、焦点、准线等概念以及它们之间的关系有了更高层次的理解；另外，通过学习射影几何还可以解决一些在中学几何中难以说清楚的问题，如：为什么不共线的三点确定一个圆？为什么椭圆和抛物线没有渐近线？为什么抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线？

恰当利用完全四点形的调和性质证明中学几何问题，降低了解决问题的难度，命题的证明思路清晰，过程简洁。利用无穷远元素的概念，将中学几何中的某些问题归结为射影几何的问题，使问题容易得到解决。注重揭示高等几何与中学几何的内在联系，这样可以扩大我们的知识领域，拓宽我们的视野，有助于站在新的高度上，深入地理解中学几何。

在中学几何中有一些问题，它们的内容各不相同，其证法和解法也有差异，但从射影几何的观点来看，它们都属于同一个问题，例如以下三个命题： （1）三角形的垂足三角形的三边与原三角形对应边的交点共线；

（2）三角形的三内角平分线与对边交点为顶点的三角形的三边与原三角形对应边的交点共线；

（3）三角形三边中点连线所成的三角形的三边与原三角形的对应边分别平行。

由于三角形的三高线、三内角平分线、三中线都分别共点，故以上三个命题都是射影几何中的德萨格定理的直接推论，只不过前两者共一条普通直线，后者共一条无穷远直线。

中学几何命题：“同弧上的圆周角相等”、“双曲线上任一点的切线与两条渐近线所围成的三角形面积为常量”、“双曲线的任意一条切线与两条定切线的交点在焦点处张成定

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角”等等，这些命题用中学几何方法证明都有一定的难度，有的甚至不能作为中学生的习题，但它们都可以利用射影的方法得到简单的证明。总之，射影几何对加深中学几何理论和方法的理解提供了更广阔的视野。

点和直线是射影平面的基本元素。点和直线的结合性是射影变换的基本性质。共线点和共点线是点线结合中重要，而在中学几何中较难的一类命题。利用射影几何的方法可简捷证明中学几何问题，如利用交比证明有关圆的问题；利用帕斯卡定理、帕普斯定理、完全四点形的调和性、配极原则等都可以简便的解决某类中学几何的共线和共点问题。由于射影几何中图形的不变性在中学几何中必然成立，因而利用射影几何理论来统一解决中学几何中某类问题，既能简化解题过程，又能为中学几何的解题方法寻求更广阔的途径；既能掌握某类问题的规律，又能居高临下地认识射影几何的作用。通过射影几何的学习，能增长几何知识，扩大几何视野，会认识到中学几何之外还有更广阔的几何天地。

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