201708-09上海高考数学模拟试题分类汇编第2部分函数 doc - 图文

8.（08年上海市部分重点中学高三联考22）（4+7+7） 定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x?D，存在常数M?0，都有|f(x)|?M成立，则称f?x?是D上的有界函数，其中

M称为函数f?x?的上界.

1?m?2x?1??1?已知函数f?x??1?a??????；g(x)?. x1?m?224????（1）当a?1时，求函数f?x?在???,0?上的值域，并判断函数f?x?在???,0?上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数f?x?在?0,???上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若m?0，函数g?x?在?0,1?上的上界是T(m)，求T(m)的取值范围.

xx?1??1?8. [解]：（1）当a?1时，f(x)?1??????

?2??4? 因为f(x)在???,0?上递减，所以f(x)?f(0)?3，即f(x)在???,1?的值域为?3,???

故不存在常数M?0，使|f(x)|?M成立

所以函数f?x?在???,1?上不是有界函数。 ?????4分（没有判断过程，扣2分） （2）由题意知，f(x)?3在?1,???上恒成立。???5分

xx?1??1??1??3?f(x)?3， ?4????a????2???

?4??2??4??1??1?∴ ?4?2x????a?2?2x???在?0,???上恒成立???6分

?2??2?xx???1???1??xx?a??2?2???? ???7分 ∴ ??4?2?????2???2??????max??minx设2?t，h(t)??4t?，p(t)?2t?，由x??0,???得 t≥1，

xxxxx1t1t设1?t1?t2，h(t1)?h(t2)??t2?t1??4t1t2?1??0

t1t2p(t1)?p(t2)??t1?t2??2t1t2?1??0

t1t2所以h(t)在?1,???上递减，p(t)在?1,???上递增，???9分（单调性不证，不扣分）

h(t)在?1,???上的最大值为h(1)??5， p(t)在?1,???上的最小值为p(1)?1

所以实数a的取值范围为??5,1?。?????????????11分 （3）g(x)??1?2，

m?2x?1∵ m>0 ，x??0,1? ∴ g?x?在?0,1?上递减，???12分

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∴ g(1)?g(x)?g(0) 即

1?2m1?m?g(x)????13分

1?2m1?m?2?1?m1?2m1?m?①当，即m?0,时，g(x)?， ???14分 ???21?m1?2m1?m??此时 T(m)?1?m，???16分 1?m②当

?2?1?m1?2m1?2m,???，即m??时，g(x)?， ??1?m1?2m1?2m?2?1?2m， ---------17分

1?2m此时 T(m)??2??1?m??T(m)综上所述，当m?0,时，的取值范围是,???； ?1?m?2?????当m???2??1?2m?,???时，T(m)的取值范围是?,??????18 ?1?2m2????9.（ 2009年上海市普通高等学校春季招生考试20）(本题满分18分)本题共有3个小题，第1

小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分. 设函数fn(?)?sinn??(?1)ncosn?,0????4，其中n为正整数.

（1）判断函数f1(?)、f3(?)的单调性，并就f1(?)的情形证明你的结论； （2）证明：2f6(?)?f4(?)?cos4??sin4????cos2??sin2?；

?（3）对于任意给定的正整数n，求函数fn(?)的最大值和最小值.

???9.[解] （1）f1(?)、f3(?)在?0,?上均为单调递增的函数. ?? 2分 4????? 对于函数f1(?)?sin??cos?，设 ?1??2,?1、?2??0,，则

4????1?sin?2???co?s2?co?s1?， f1(?1)?f1(?2)??sin ? ?sin?1?sin?2,co?s2?co?s1，

f1??1??f1??2?,????函数f1(?)在?0,上单调递增. ?? 4分 ?4??（2）? 原式左边

64 ?2sin??co6s??sin??co4s?

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22 ?2sin??cos????sin??sin??cos??cos????sin??cos??

422444222??cos2?. ?? 6分 ?1?sin 又?原式右边?cos2??sin2???2?cos22?.

? 2f6(?)?f4(?)?cos4??sin4????cos2??sin2?. ?? 8分

????（3）当n?1时，函数f1(?)在?0,?上单调递增， 4????? ? f1(?)的最大值为f1???0，最小值为f1?0???1.

?4? 当n?2时，f2????1，? 函数f2(?)的最大、最小值均为1.

??? 当n?3时，函数f3(?)在?0,上为单调递增.

4?????? ? f3(?)的最大值为f3???0，最小值为f3?0???1.

?4? 当n?4时，函数f4(?)?1?12???sin2?在?0,?上单调递减，

4?2????1 ? f4(?)的最大值为f4?0??1，最小值为f4???. ?? 11分

?4?2 下面讨论正整数n?5的情形：

??? 当n为奇数时，对任意?1、?2??0,且?1??2,4???

? fn(?1)?fn(?2)?sinn?1?sinn?2?cosn?2?cosn?1， 以及 0?sin?1?sin?2?1,0?cos?2?cos?1?1，

? sinn?1?sinn?2,cosn?2?cosn?1，从而 fn(?1)?fn(?2).

??????? ? fn(?)在?0,?上为单调递增，则 4????? fn(?)的最大值为fn???0，最小值为f4?0???1. ?? 14分

?4? 当n为偶数时，一方面有 fn(?)?sinn??cosn??sin2??cos2??1?fn(0). 另一方面，由于对任意正整数l?2，有

2l?22l?2 2f2l(?)?f2l?2(?)?cos??sin????cos??sin???0，

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?fn(?)?111???fn?2(?)???nf2(?)?n?fn??. 2?1?1?4?2222n????1?? 函数fn(?)的最大值为fn(0)?1，最小值为fn???2??.

?4??2? 综上所述，当n为奇数时，函数fn(?)的最大值为0，最小值为?1.

?1? 当n为偶数时，函数fn(?)的最大值为1，最小值为2??. ?? 18分

?2?

n1（嘉定区2008～2009第一次质量调研第20题）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满

分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 已知函数f(x)?ax2?|x|?2a?1（a为实常数）．

（1）若a?1，作函数f(x)的图像；

（2）设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式； （3）设h(x)?f(x)，若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围． x2答案：解：（1）当a?1时，f(x)?x?|x|?1 2??x?x?1,x?0 ??2．作图（如右所示）

??x?x?1,x?0 ??（4分） （2）当x?[1,2]时，f(x)?ax?x?2a?1． 若a?0，则f(x)??x?1在区间[1,2]上是减函数，

2g(a)?f(2)??3．??（5分）

11?1?x?f(x)若a?0，则f(x)?a?x?，图像的对称轴是直线． ?2a??1?2a2a?4a?当a?0时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)?f(2)?6a?3．??（6分）

11?1，即a?时，f(x)在区间[1,2]上是增函数， 当0?22ag(a)?f(1)?3a?2．??（7分）

1111?1??2，即?a?时，g(a)?f???2a?当1??1，??（8分） 2a422a4a?? 第 20 页 共 35 页

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