当前位置:首页 > 【中考数学历年真题】2019年四川省凉山州中考数学试卷
(4)由题意知,获一等奖的学生中,七年级有1人,八年级有1人,九年级有2人,
画树状图为:(用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生)
共有12种等可能的结果数,其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4,
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率
=.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.也考查了统计图.
22.(8分)如图,点D是以AB为直径的⊙O上一点,过点B作⊙O的切线,交
AD的延长线于点C,E是BC的中点,连接DE并延长与AB的延长线交于点F. (1)求证:DF是⊙O的切线; (2)若OB=BF,EF=4,求AD的长.
【分析】(1)连接OD,由AB为⊙O的直径得∠BDC=90°,根据BE=EC知∠1=∠3、由OD=OB知∠2=∠4,根据BC是⊙O的切线得∠3+∠4=90°,即∠1+∠2=90°,得证;
(2)根据直角三角形的性质得到∠F=30°,BE=EF=2,求得DE=BE=2,得到DF=6,根据三角形的内角和得到OD=OA,求得∠A=∠ADO=30°,根据等腰三角形的性质即可得到结论. 【解答】解:(1)如图,连接OD,BD, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠ADB=∠BDC=90°, 在Rt△BDC中,∵BE=EC, ∴DE=EC=BE, ∴∠1=∠3, ∵BC是⊙O的切线, ∴∠3+∠4=90°, ∴∠1+∠4=90°, 又∵∠2=∠4, ∴∠1+∠2=90°, ∴DF为⊙O的切线; (2)∵OB=BF, ∴OF=2OD, ∴∠F=30°, ∵∠FBE=90°, ∴BE=EF=2, ∴DE=BE=2, ∴DF=6,
∵∠F=30°,∠ODF=90°, ∴∠FOD=60°, ∵OD=OA, ∴∠A=∠ADO=∴∠A=∠F, ∴AD=DF=6.
BOD=
BOD=30°,
【点评】本题考查了切线的判定和性质,直角三角形的性质,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键. 四、B卷填空题(共2小题,每小题5分,共10分)
23.(5分)当0≤x≤3时,直线y=a与抛物线y=(x﹣1)﹣3有交点,则a的取值范围是 ﹣3≤a≤1 .
【分析】直线y=a与抛物线y=(x﹣1)2﹣3有交点,则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算. 【解答】解:
法一:y=a与抛物线y=(x﹣1)2﹣3有交点 则有a=(x﹣1)2﹣3,整理得x2﹣2x﹣2﹣a=0 ∴△=b2﹣4ac=4+4(2+a)≥0 解得a≥﹣3,
∵0≤x≤3,对称轴x=1 ∴y=(3﹣1)2﹣3=1 ∴a≤1
法二:由题意可知,
∵抛物线的 顶点为(1,﹣3),而0≤x≤3 ∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1 ∵y=a,则直线y与x轴平行,
∴要使直线y=a与抛物线y=(x﹣1)2﹣3有交点, ∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1,即为a的取值范围, ∴﹣3≤a≤1
故答案为:﹣3≤a≤1
【点评】此题主要考查二次函数图象的性质及交点的问题,此类问题,通常可化为一元二次方程,利用根的判别式或根与系数的关系进行计算.
2
24.(5分)如图,正方形ABCD中,AB=12,AE=AB,点P在BC上运动(不与
B、C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为 4 .
【分析】先证明△BPE∽△CQP,得到与CQ有关的比例式,设CQ=y,BP=x,则CP=12﹣x,代入解析式,得到y与x的二次函数式,根据二次函数的性质可求最值.
【解答】解:∵∠BEP+∠BPE=90°,∠QPC+∠BPE=90°, ∴∠BEP=∠CPQ. 又∠B=∠C=90°, ∴△BPE∽△CQP. ∴
.
设CQ=y,BP=x,则CP=12﹣x. ∴
,化简得y=﹣(x2﹣12x),
整理得y=﹣(x﹣6)2+4, 所以当x=6时,y有最大值为4. 故答案为4.
【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质,以及二次函数最值问题,几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想. 五、解答题(共4小题,共40分)
25.(8分)已知二次函数y=x2+x+a的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且
+
=1,求a的值.
【分析】有韦达定理得x1+x2=﹣1,x1?x2=a,将式子即可;
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