2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(二)

x2y217.已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0),左顶点为A(?2,0).

ab（1）求椭圆E的方程；

（2）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）M,N两点.试判断直线MN与x轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.

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参考答案

c3a2?b23?，∴a2?4b2，∵由椭圆C1截直线y?x所得的弦长为1.（Ⅰ）由题意知，?，即2a24a?2525?4104422a?4b，∴弦在第一象限的端点的坐标为?，∴，将代入上式，解,??1?22??55?5a5b?5x2?y2?1. 得a?2,b?1.∴椭圆C1的方程为4（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A??2,0?，设M?x1,y1?,N?x2,y2?，∵AN?41MN，∴AM?AN，34?x??y?2?∴y2?4y1，设直线l的方程为x??y?2???0?，联立?x2，得??2?4?y2?4?y?0，

2??y?1?4?4??x??y?2222∴y1?2；联立?，得??1y?12?y?36?r?0，∵??0，??222??4???x?4??y?r∴r?2366?6?4?422，且；∴，解得，∴r?20，y?=4???222225??1??1??1?+4∴l:5x?25y?10?0,r?25.

2.（1）因为F(?2,0)，由BF?x轴，由对称轴不妨设B(?2,?3)，则直线AB:y??又左准线l:x??8，所以P(?8,6)， 又BC??1CQ，所以PC?3(x?4) 2PB??1PQ

1??1PQ??2PA

1??2同理：由QD??2DA，得：PD?3PA??1PQ3又PB?PA，所以PC?2

1??123?3又PC//PD，比较系数得：2?1，所以?1??2?

?212（2）证明：设点C(x1,y1)，D(x2,y2)，Q(x0,y0)

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由BC??1CQ，得x1?22?2??1x0?3??1y0，y1?

1??11??1?2??1x02?3??1y02)?4()?48，

1??11??1代入椭圆方程3x?4y?48，得：3(222整理得：(3x0?4y0?48)?1?(12x0?24y0?96)?1?0

显然?1?0，所以?1?12x0?24y0?96 223x0?4y0?48x0?4?2y0，y2?

1??21??2x0?4?22y)?4(0)2?48

1??21??2同理：由QD??2DA，得：x2?22代入椭圆方程3x?4y?48，得：3(223x0?4y0?48同理可得：?2?

24x0?9622312x0?24y0?963x0?4y0?483又由（1）?1?2?，所以?? 2223x0?4y0?4824x0?962整理得：x0?y0?2?0 即点Q在定直线x?y?2?0上.

3.（1）由题设D(0,2)，F(2,0)，A(2,0)， 又AP//DF，所以kAP?kDF，可得：t?2， 所以AP:所以d?xy??1，即x?y?2， 22|?2|?2，为圆x2?y2?2的半径， 222所以直线AP与圆x?y?2相切.

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（2）设Q(x0,2)，E(x1,y1)，

由OQ?OE，则OQ?OE，可得x0x1?2y1?0， 而EQ：(y1?2)x?(x1?x0)y?(y1?2)x0?2(x1?x0)?0

d?|-(y1?2)x0?2(x1?x0)|(y1?2)?(x1?x0)22?|y1x0?2x1|(y1?2)?(x1?x0)22

由x0x1?2y1?0得x0??2y1代入上式， x1得d?22|y12?x12|x(y1?2)?(x?2y1)222212212?2|y12?x12|(x?4)(x?y)2121221?2y12?x12x?421

又x1?2y1?4，x1?4?2y1，代入上式得：d?所以直线EQ与圆x?y?2相切.

4.（1）因为A,B两点关于x轴对称， 所以AB边所在直线与y轴平行，

设M(x,y)，由题意，得A(x,3x)，B(x,?3x)， 所以|AM|?3x?y，|MB|?y?3x， 因为|AM|?|MB|?3，

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y2?1， 所以(3x?y)(y?3x)?3，即x?32y2?1(x?1) 所以点M的轨迹W的方程为x?32（2）设M(x,y)，则|MP|?(x?m)?y，

22y2?1(x?1)，所以y2?3x2?3， 因为点M在x?32m23m2所以|MP|?(x?m)?3x?3?4x?2mx?m?3?4(x?)??3

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