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插值方法初探与应用

目 录

1 前言--------------------------------------------------------------------1 2 插值法------------------------------------------------------------------2 2.1 插值法的概念--------------------------------------------------------2 2.2 几种不同插值法------------------------------------------------------2

2.2.1 拉格朗日插值--------------------------------------------------3 2.2.2 牛顿插值------------------------------------------------------5 2.2.3 分段线性插值--------------------------------------------------6 2.2.4 埃尔米特插值--------------------------------------------------7 2.2.5 三次样条插值--------------------------------------------------8 3 插值法的应用-----------------------------------------------------------11 3.1 基础知识-----------------------------------------------------------11 3.2 插值法在初高中数学问题中的应用-------------------------------------11

3.2.1 插值法在初中数学问题中的应用---------------------------------12 3.2.2 插值法在高中数学问题中的应用---------------------------------16 3.3 插值法在实际问题中的应用-------------------------------------------19

3.3.1 热工计算上的实际应用-----------------------------------------19 3.3.2 温度预测上的实际应用-----------------------------------------22 4 结论-------------------------------------------------------------------25 参考文献-----------------------------------------------------------------26 致谢---------------------------------------------------------------------27

插值方法初探与应用

1 前 言

插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题.插值法是一个古老的话题，早在公元六世纪，刘焯就创立“等间距二次内插法公式”来计算日、月、五星的运行速度，之后，插值法就随着后来科学家的深入研究使之更加完善.插值法不仅是在算法上能够更加简便，而且在实际应用中，插值法会使很多问题由复杂变为简单从而方便解决.插值法的提出主要源于实际问题，在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值，因此需要用插值方法处理，求出近似函数.在插值问题的研究工作中，对用于逼近的简单函数的类型有不同的选取.多项式或分段多项式最便于计算和使用，因而使用的也比较多。特别计算机出现后，人们更把注意力集中在利用多项式的插值方面，因为计算公式相对的易于描述和进行程序设计，其误差分析也比较简单.无论国外还是国内，科学家们对于插值法已有了很多研究，如：刘焯、牛顿、拉格朗日、莱昂哈德·欧拉、爱德华·华林等，对于插值法算法的研究，虽然在一些想法上比较抽象，不容易理解，但是在解法上还是比较具体的.通过本论文的研究会对插值法有进一步不一样的了解，会让它在初学者眼里都比较熟悉，同时拓展运算思维能力，因此进一步开展这方面的研究将大有可为.

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插值方法初探与应用

2 插值法

实际问题中遇到的函数f?x?是多种多样的，有的表达式很复杂，有的甚至没有给出表达式，只提供了一些离散点上的函数值或导数值。为进一步分析问题的性质和变化规律，希望找到一种能近似描述函数f?x?变化规律、又便于处理的简单函数p?x?作为

f?x?的近似.这就是下面要介绍的插值法所要解决的问题.

2.1 插值法的概念

插值法又称“内插法”，是利用函数f(x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数??x?，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用函数??x?的值作为函数

f(x)的近似值，这种方法称为插值法.

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式；如果这特定函数值是三角函数，就用三角多项式作为插值函数等.因此函数??x?的类型可以有各种不同的选择，但我们最常用的类型是代数多项式，这是因为代数多项式具有一些很好的特性，如：它具有各阶导数，计算多项式的值比较方便，等等.因此本文中的所有插值函数都是代数多项式插值，所以本文讨论的都是代数插值多项式.

f(x)为定义在区间?a,b?上的函数，x0,x1，??，xn为[a,b]上n?1个互不相同的

??x?为给定的某一函数类。点，若函数?(x)，满足?(xi)=f(xi)，i?0,1,2,???,n 则称?(x)为f(x)关于节点x0,x1，??，xn上的插值函数.称点x0,x1，??，xn为插值节点；称

f(x)称为被插函数.

2.2 几种不同插值法

上节讨论了插值法的概念，使读者了解插值函数?(x)通常用来代替实际函数f(x)计算，因此构造插值函数很重要，而且越逼近实际函数，就说明插值效果更好，所以插值方法很重要，下面就介绍几种常用的插值.

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插值方法初探与应用

2.2.1 拉格朗日插值

欲构造插值函数?(x)，首先想到的就是定义.即设函数y?f?x?在区间[a,b]上有定义，且已知在点a?x0?x1?x2???xn?b上的函数值y0,y1,?,yn，求一个次数不高于n的插值多项式?n?x??a?a1x???anxn，使?n?xi??yi ?i?0,1,2,?,n?成立，即

n?a0?a1x0???anx0?yo?n?a0?a1x1???anx1?y1 这是一个关于a0,a1,?,an的n?1元线性方程组，其系数矩阵????a?ax???axn?ynnn?01nn1x0?x0的行列式为Vn?x0,x1,?,xn??1x1?x1n???n1xn?xn,这个行列式称作范德蒙（Vandermonde）行列式，如果xi?xj?i?j?，则Vn?x0,x1,?,xn??0，所以方程组有唯一解a0,a1,?,an

但是这样的方法比较麻烦，计算量大，不便于实际应用.因此我们讨论一下用其它简单的方法来解决类似的问题.先给出简单的两个点讨论，如下表格

x y

x0 y0

x1 y1

构造一个插值函数?1?x?

若把直线方程用两点式来表示，则有y?y0y1?y0? x?x0x1?x0?y?y0?y1?y0x?x0x?x1+y1 ?x?x0??y0x1?x0x0?x1x1?x0x?x0x?x1+y1 x0?x1x1?x0x?x0x?x1和的线性组合，把这两个函数分别记为x0?x1x1?x0??1?x??y0上式是两个线性函数l0?x?=x?x0x?x1，l1?x?=，并把l0?x?叫做点x0的一次基函数，把l1?x?叫做点x1的一x0?x1x1?x0第 3 页 共 27 页