华师一附中2015年高中招生考试数学模拟试题

华师一附中2015年高中自主招生考试 数学模拟试题

考试时间：80分钟 卷面满分：150分

一、选这题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 1、已知实数a、b、c满足

a?b?c?(a2?2005)(b?6)?|10?2b|?2， 则代数

式ab+bc的值为（ ） A、36 B、-36 C、18 D、-18

2、如图，菱形纸片ABCD中，?A?60?，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’F?CD时，CFDFD的值为 （ ） AFA．3?13?1E2 B B．323?1C6 C．6 D．

8 A'BD'3、在平面直角坐标系中，如果直线y＝kx与函数y＝

??

2x＋4（x ＜－3）?－2（－3≤x ≤3）的图象恰有3个不同的交点，则k的取值范围是（ ） ??2x－8（x＞3）

A、

23?k?2 B、k<2 C、?23?k?2 D、-2

A．18° B．16° C．15° D．14°

5、如图，以△ABC的每一条边为边作三个正三角形△ABD、△BCE和△ACF．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和，则∠FCE=（ ）

A．130° B．140° C．150° D．160° D F 丙 E 甲 C 乙 丁 6、若0°<α<45°，且sinαcosα=37，则sinα=（ ）.A B 16

(第5题)

A、78 B、147144 C、4 D、8

二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分） 7、已知xy?3，那么xyxx?yy的值是__________． 8、.已知实数

a,b,c

满足

a+b+c=10,且

1abcAIBGa?b?1b?c?1c?a?1417,则b?c?c?a?a?b的值是 .

EDJF89、如图,在长和宽分别是8和7矩形内,放置了如图中5个大小

CKA’

相同的正方形,则正方形的边长是 .

10、将一正五边形纸片沿其对称轴对折．旋转放置，做成科学

O7H图 1方舟模型．如图所示，该正五边形的边心距OB长为2，AC为

科学方舟船头A到船底的距离，则AC?12AB? ．

11、如图是二次函数y=ax2+bx的图象，若一元二次方程ax2+bx+m=0 有实数根，则实数m的最大值为 ．

y?112、已知抛物线2x2?bx经过点A(4,0)。设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确

定一点D,使得

AD?CD的值最大，则D点的坐标为__________.

三、解答题（本大题共5个小题，共72分）

13、 （13分）已知关于x的方程(m2?1)x2?3(3m?1)x?18?0有两个正整数根（m 是

整数）.△ABC的三边a、b、c满足c?23，m2?a2m?8a?0，m2?b2m?8b?0.

求：⑴ m的值；⑵ △ABC的面积.

14、(15分)如图，在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A（8，0），C（0，6），点M是OA的中点，P、Q两点同时从点M出发，点P沿x轴向右运动；点Q沿x轴先向左运动至原点O后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位．以PQ为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为（t秒），正方形PRLQ与矩形OABC重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）． （1）用含t的代数式表示点P的坐标；

（2）分别求当t=1，t=5时，线段PQ的长； （3）求S与t之间的函数关系式；

（4）连接AC．当正方形PRLQ与△ABC的重叠部分为三角形时，直接写出t的取值范围．

15、（13分）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系．

(1)如图①，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系为________．

(2)如图②，若AB＝BC，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想，并加以证明．

(3)如图③，若AB＝kBC，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想，并加以证明．

16、（13分）已知点P是抛物线y?x2上一点，过点M（0，2）作半径为2的⊙M，（1）过点P作⊙M的两条切线l1、l2，若l1⊥l2，求点P的坐标；（2）若过点Q(2,4)的直线l与抛物线y?x2只有一个公共点时，求出点M与直线的距离.

17、（18分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC y 的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上， OA=2，OC=3。过原点O作∠AOC的平分线交AB于点 D D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E。

A B （1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

E （2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y x O C 轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G。 如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的 横坐标为

65，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理 由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ 与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐 标；若不存在，请说明理由.

华师一附中2015年高中自主招生考试

参考答案

1、A 2、A 3、A 4、B 5、C 6、C

7、23或-23 8、89/17 9、5 10、5 11、3 12、（2，-6） 13、（1）m=2,（2）s=1或9?122

14、（1）P（t+4,0）(0?t?8);(2)当t=1时，PQ=2;当t=5时，PQ=8；（3）当0?t?3时，s=4t2;当3?t?4时，s=12t; 当4?t?8时，s=-6t+72;(4)

1211?t?125或t=4时，s=12。 15、(1)如图①，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系为_AE＝EF_______．

(2)猜想：(1)中得到的结论没有发生变化．

证法一：如图①，过点E作EH∥AB交AC于点H，则 ∠BAC＋∠1＝180°，∠BAC＝∠2．

∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠3．∴∠2＝∠3．∴EH＝EC． ∵AD∥BC，∴∠D＋∠DCB＝180°．

∵∠BAC＝∠D，∴∠1＝∠DCB＝∠ECF．

∵∠4＝∠5，∠AEF＝∠ACF，∴∠6＝∠7．∴△AEH≌△FEC． ∴AE＝EF．

第25题答图

证法二：如图②，过点E作EG∥AC交AB于点G，则∠BAC＋∠1＝180°． ∵AD∥BC，∴∠D＋∠DCB＝180°，∠2＝∠3．

∵∠BAC＝∠D，∴∠1＝∠DCB＝∠ECF，∠B＝∠4． ∵∠AEF＝∠4，∴ ∠B＝∠AEF．

∵∠B＋∠GAE＝∠AEF＋∠CEF，∴∠GAE＝∠CEF．

∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．

∵GE＜AC，∴四边形AGEC是等腰梯形． ∴AG＝CE．∴△AEG≌△EFC． ∴AE＝EF．

(3)猜想：AE＝kEF．

证法一：如图③，过点E作EH∥AB，交AC于点H，则△HEC∽△ABC．

?HEAB?ECHEABBC．?EC?BC?k 同(2)可证 ∠AHE＝∠FCE，∠EAH＝∠CFE． ∴△AEH∽△FEC．?AEFE?EHEC?k． 即AE＝kEF．

证法二：如图④，过点E作EG∥AC，交AB于点G，则△GBE∽△ABC．

?GBAB?BEBC． ?GBBE?ABBC?k．∴GB＝kBE，AB＝kBC． ?AGAB?GBkBC?kBEEC?BC?BE?BC?BE?k 同(2)可证 ∠GAE＝∠CEF，∠AGE＝∠ECF．

16、（1）易证点P、M和两个切点组成的四边形是正方形，从而PM=2，设P坐标为（t,t2），则t2?(t2?2)4?22，t?0,3,?3，所以点P的坐标为（0，0）、（3,3）、（?3,3）；（2）若直线l平行与y轴，直线l即x=2，此时点M与直线l的距离为2；若直线l不平行与y轴，可求得直线l为y?4x?4，易求得点M与直线l的距离为61717. 17、（1）由已知，得C(3，0)，D(2，2)， ?ADE?90°??CDB??BCD，

?AE?ADtan?ADE?2?tan?BCD?2?12?1． ?E(0，1)． ····················································································································· （1分）设过点E、D、C的抛物线的解析式为y?ax2?bx?c(a?0)．

将点E的坐标代入，得c?1．

将c?1和点D、C的坐标分别代入，得

??4a?2b?1?2，?9a?3b?1?0. ············································································································ （2分） ?a??5解这个方程组，得???6

?13??b?6故抛物线的解析式为y??56x2?136x?1． ································································· （3分） （2）EF?2GO成立． ································································································· （4分） 点M在该抛物线上，且它的横坐标为

65， ?点M的纵坐标为125． ······························································································· （5分） y 设DM的解析式为y?kx?b1(k?0)， F Ｍ 将点D、M的坐标分别代入，得

A D B ??2k?b1?2，?1E ??6?k???5k?b12 解得?2， 1?5.??b1?3．O G K C x

?DM的解析式为y??12x?3． ·

·············································································· （6分） ?F(0，3)，EF?2． ··································································································· （7分） 过点D作DK⊥OC于点K，

则DA?DK．

?ADK??FDG?90°， ??FDA??GDK．

又?FAD??GKD?90°， ?△DAF≌△DKG． ?KG?AF?1． ?GO?1． ····················································································································· （8分） ?EF?2GO． （3）

点P在AB上，G(1，0)，C(3，0)，则设P(1，2)． ?PG2?(t?1)2?22，PC2?(3?t)2?22，GC?2．

①若PG?PC，则(t?1)2?22?(3?t)2?22， 解得t?2．?P(2，2)，此时点Q与点P重合．

?Q(2，2)． ···················································································································· （9分） ②若PG?GC，则(t?1)2?2??22， 解得 t?1，?P(1，2)，此时GP⊥x轴．

GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，

?点Q的纵坐标为73．

?Q??7??1，3??． ················································································································ （10分） ③若PC?GC，则(3?t)2?22?22，

解得t?3，?P(3，2)，此时PC?GC?2，△PCG是等腰直角三角形． 过点Q作QH⊥x轴于点H，

y 则QH?GH，设QH?h，

Q (QD )．

A ( P) ?Q(h?1，h)P B (P) E Q ??56(h?1)2?136(h?1)?1?h．

解得h?71，h2??2（舍去）．O G H C x

5

?Q??127??5，5??． ·

·············································· （12分） 综上所述，存在三个满足条件的点Q，

即Q(2，2)或Q??1，7??或Q??12?3??5，7?5??．