排列与组合

第三节 排列与组合问题

【目录】

题型1 排列应用题中的数字问题 题型2 排列应用题中的排队问题 题型3 排列应用题中的其它问题

题型4 排列数、组合数的计算公式及组合数的性质 题型5 组合应用题中的选举及抽样问题 题型6 组合应用题中的几何问题 题型7 组合应用题中的分配问题 题型8 排列、组合的综合应用题

三、解答题

题型1 排列应用题中的数字问题

1．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的数：

（1）可以组成多少个六位数？ （2）可以组成多少个四位奇数？ （3）可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个？

（4）可以组成多少个能被3整除的四位数？ （5）可以组成多少个大于324105的六位数？

1解：（1）从特殊元素0入手：0不能排在十万位，0有A5种排法，剩下的5个数字可排在5个数位下，515有A5种，故可组成A5A5?600个六位数。

1515从特殊位置十万位入手：有A5种排法，剩下的五个位置有A5种，故可组成A5A5?600个六位数。65六个数字可组成A6个“六位数”（其中包括0在十万位的情形），而0在最高位上的“六位数”应扣除有A565个，故共有A6?A5?600个六位数。

1（2）从特殊位置入手：个位上有A3种排法，首位上有A4种排法，中间两位上有A4种排法，故共有112A3A4A4?144个；

11213从特殊元素入手：可分为两类，含数字0的有A3A2A4个，不含有数字0的有A3A4个，故共有四位112奇数A3A4A4?144个。

3采用间接法：个位是奇数的数共有3A5个，其中不合条件的（0在首位）有3A4个，故符合条件的四32位奇数共有3A5?3A4?144个。

2（3）分类：如果有0，则0可排在个位或十位有2种，其余5个数字可排在二个数位上有A5种，所以2有2A5?40个三位数；

122 1

2如果无0，则2、4中可选出1个有2种，再从其余3个奇数中选出2个有C3种，然后将3个数字全233排列有A3种，所以有2C3A3?36个二位数；如果无0，则2、4中可选出2个有1种，再从其余3个奇33数中选出1个有3种，然后将3个数字全排列有A3种，所以有1?3?A3?18个三位数，共有

40?36?18?94个。

123三位数共有A5个，故至少含有一个偶数的三位A5个，但其中三个数字都不是偶数即均为奇数的有A3123数有A5A5?A3?94个。

（4） 一个整数能被3整除的充要条件是它的各位数字之和是3的倍数，符合条件的有5组数：0、1、2、3； 0、2、3、4； 0、3、4、5； 0、1、3、5； 1、2、4、5；

413前4组每组组成的四位数各有A3个，故可组成能被3整除的四位数A3个，后一组组成的四位数有A4134有4A3A3?A4?96个。

5（5） 采用间接法：六位数共有5A5个，不大于324105的数如：① 3240××的数有2个；

43② 321×××与320×××的数有2A3个；③31××××与30××××有的数2A4个； 5④ 324105有 1个；⑤ 2×××××与1×××××的数有2A5个。

5345所以满足条件的六位数共有2A5?2?2A3?2A4?1?2A5?297个。 5采用选化法：符合条件的是形如① 5×××××和4×××××的数有2A5个； 3② 35××××和34××××的数有2A4个；③ 325×××的数有A3个；④ 3245××的 5432数有A2个，还有1个324150。故符合条件的六位数共有2A5?2A4?A3?A2?1?297个。

422．在3000与8000之间．

（1）有多少个没有重复数字且能被5整除的奇数； （2）有多少个没有重复数字的奇数． 解：（1）能被5整除的奇数：个位上只能是5，按条件，千位上可以是3，4，6，7中的任意一个，其

2余两个数字可以是余下数字中的任意两个，故适合题意的数字的个数共有4×A8=224（个）．

（2）按题要求：个位可以是1、3、5、7、9中任意一个，千位上可以是3、4、5、6、7中的任意一个．因为个位数字与千位数字不能重复，所以可分以下两类：

21第一类：个位是1、9．千位可以是3、4、5、6、7中任意一个，这样的奇数有5A8=560（个）； ?A2第二类：个位是3、5、7，千位是4、6或3、5、7中与个位不重复的数字中的任意一个，∴满足上述

1111条件的奇数有A3．由分类计数原理，所求奇数为560+672=1232（个）． ?A2?A82?A3?A2?A82=672（个）

解法二：按千位数字分类：

2

112第一类：千位是4、6中的一个，则个位可是1、3、5、7、9中的任一个，这样的奇数有A2A5A8=560

（个）；

第二类：千位是3、5、7中任意一个，个位可以是1、3、5、7、9中与千位数字不重复的四个数中的

112一个，这样的奇数有A3． A4A8=672（个）

112112∴满足条件的奇数个数为A2． A5A8?A3A4A8=560+672=1232（个）

3．由数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位数中，能被2整除但不能被3整除的有多少个？ 解：个位数为0的无重复数字的四位数有A3，个位数分别为2与4无重复数字的4位数有5=60（个）

121。 ∴无重复数字的四位偶数共有60+96=156（个）。 A4A4A2=96（个）

下面计算这些四位数中能被3整除的数的个数：（能被3整除的数必须满足各个数位上的数字之和被3

整除）。

（1）个位数是0的四位数的另3个数字应为1，2，3或1，3，5或2，3，4或3，4，5， 故共有 4×3！=24个；

（2）个位数是2的四位数的另3个数字应为0，1，3或0，3，4或1，4，5，除去千位数为0的，共有3！+2×2+2×2=14个。

（3）个位数是4能被3整除的四位数的另3个数字应为0，2，3或0，3，5或1，2，5，除去千位是0的共有3！+2×2+2×2=14个。

能被2整除的且又被3整除的数共有24+2×14=52（个）。故能被2整除不能被3整除的四位数共有156-52=104（个）。

4．由1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12345，第2项是12354，?，直到末项（第120项）是54321．问： （1）43251是第几项？

（2）第93项是怎样的一个五位数？

4解：（1）比43251大的数有下列几类：①万位数是5的有A4=24个；②万位数是4，千位数是5的有23=6个；③万位数是4，千位数是3，百位数是5的有A2=2个． A3432比43251大的数共有A4=32个．所以43251是第120-32=88项． ?A3?A23（2）从（1）知万位数是5的有A4=24个，万位数是4千位数是5的有A3=6个．但比第93项大的数

4有120-93=27个，第93项即倒数第28页，而万位数是4，千位数是5的6个数是45321、45312、45231、45213、45132、45123，从而可见第93项是45213．

5．把1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列，求这个数列的各项和．

解： ∵1，2，3，4，5各在万位上时都有A4个五位数，∴万位上数字的和为：

(1+2+3+4+5)×A4×10000。同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有A4个五位数，所以其和为：(1+2+3+4+5)×A4×(1+10+100+1000+10000)=15×24×11111=3999960．即这个数列各项的和为3999960．

6．用0、1、2、3、4五个数字组成没有重复数字的五位数，并把它们从小到大排列．问23140是第

3

4444几个数？

43解：分以下几类：①1××××型的五位数有A4=24个；②20×××型的五位数有A3=6个； 3 ③ 21×××型的五位数有A3=6个．这样，这三类数共36个．

在型如23×××的数中，按从小到大的顺序分别是23014、23041、23104、?，可见23140在这一类中，位居第4位．故从小到大算23140是第40个数．

7．从0到9这十个数字中每次选出3个偶数和3个奇数，可以组成多少个前三位数字都是偶数而后三位数字都是奇数且没有重复数字的6位数？

解：第一步：第一位只有2，4，6，8四个数字可以排，任意选定其中一种排法后，从其余四个偶数

12（包括0）中任意选取两个排在第二、三位，都有A4种不同的排法． ?A4第二步：后三位上的数字可以从五个奇数中任意选取，共有A35种不同的排法．

23由分步计数原理，适合题意的数字的个数有4A4=2880个． ?A58．用0，1，2，3，4，5这六个数字：

（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ （3）能组成多少个比1325大的四位数？

解：（1）符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有A35个；第二类：2 在个位时，首位

12从1，3，4，5中选定1个（A1，十位和百位从余下的数字中选（有A2，于是有A4个；第三?A44种）4种）12类：4在个位时，与第二类同理，也有A4个． ?A421212由分类计数原理知，共有四位偶数：A5=156（个）． ?A4?A4?A4?A44（2）五位数中5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有A5个；个位数上的数字是5

13的五位数有A4·A4个．

413故满足条件的五位数的个数共有：A5=216（个）． ?A4?A43（3）比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共A4·A511个；第二类：形如14□□，15□□，共有A2?A4个；第三类：形如134□，135□，共有A2个； ?A3131211由分类计数原理知，比1325大的四位数共有：A4=270（个）． ?A5?A2?A4?A2?A31129．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数： （1）奇数； （2）5的倍数； （3）比20300大的数； （4）不含数字0，且1，2不相邻的数。

解：（1）奇数：要得到一个5位数的奇数，分成3步：第一步考虑个位必须是奇数，从1，3，5中选出一个数排列个位的位置上有P31种；第二步考虑首位不能是0，从余下的不是0的4个数字中任选一个排在首位上有P4种；第三步：从余下的4个数字中任选3个排在中间的3个数的位置上。

由乘法原理共有P31P4P4=288（个）。

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