有限元总复习 - 图文

波前求解：的基本思想是边组装单元刚度矩阵，边进行消去。而传统的直接求解法是在总刚完全形成后，才进行消去。

什么样的三维问题适合用波前(Frontal)直接求解器来求解？

狭长的三维问题,可使用单元重编号算法来减小最大波前带宽， 加速波前求解法的求解。 波前求解法的具体计算过程如下：

第(1) 步: 标记最后出现节点和分配波前矩阵 第(2) 步: 进行单元刚度矩阵的组装和消去

迭代求解法 直接求解法内存需求大，浮点运算次数为(2/3)n3级次。

? Krylov子空间迭代法中的共轭剃度法，浮点运算量大约为fnr log? (对于三维问题r = 4/3，而对于二维问题，r = 3/2)。这里，f 表示稀疏矩阵中每行非零元素的平均数，?? 为误差缩减因子。

迭代求解法通常更适合三维大型问题，适合块体有限元模拟。对于中小型问题，建议仍使用直接求解法。目前，常见的迭代法有Krylov子空间迭代法，主要包括针对对称系数矩阵的PCG，SQMR法，和对于非对称矩阵的BICGSTAB，QMR，GMRES等方法。 (a) ABAQUS

影响迭代求解法收敛的主要因素：

ABAQUS 软件中配备了线性迭代求解器，可以求解线性和非线性稳态热 传导问题。迭代求解器主要用来求解大型，条件数较好的问题。对于其它情况， 直接稀疏求解器更加适合。对于病态线性方程组，迭代求解器通常收敛较慢或甚 至不收敛。例如，模型中的材料性质差别显著；模型中许多单元的长细比较差。 影响迭代求解器性能的最基本的模型因素就是模型的几何形状。因此，在选

择迭代求解器时应该考虑模型的几何形状是否合适。通常，具有块体形状的模型 ，由实体单元为主的模型比较适合使用迭代求解方法。而具有结构单元（如，细 长的梁板等结构）的模型就不太适合使用迭代求解器，应该选用直接求解法。如 果模型中含有特殊的单元类型（如弹簧单元等），就应该慎重使用迭代求解方法 ，因为这些单元的刚度与模型中实体单元的刚度差别显著。有一些建模技术甚至 不能够使用迭代求解器，如在实体单元表面镀一薄层膜单元来恢复边界精确的应 力或用弱弹簧来约束刚体的运动等，因为这些问题都会引起迭代求解器收敛慢或 不收敛。

非线性迭代法与线性迭代法：

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对于非线性问题，迭代求解器也可以用来求解每一个Newton非线性迭代步中 产生的线性方程组。然而，非线性问题的收敛也直接受线性迭代求解器收敛情况 的影响。具体程度取决于具体模型和非线性的类型。对于一些情况，线性迭代求 解器的默认收敛容忍度10-6足够满足Newton非线性迭代的收敛；对于另一些情况 ，需要使用更小的容忍度，如10-8。

如果一使用线性迭代求解器的非线性分析不能收敛，通常很难确定引起不收 敛的是线性迭代求解器的近似解不够精确，还是由于非线性迭代本身不收敛。通 常可以采用直接线性求解法来诊断不收敛的原因，如果采用了直接求解器，可以 消除不收敛问题，则说明前面的线性迭代求解器的近似解不够精确；如果即使采 用了直接求解器，不收敛问题还是没有消除，则说明可能是非线性迭代本身就不 收敛。需要强调的是，线性方程组解的精度对Newton等非线性迭代方法有明显的 影响。对于一些问题，需要减小误差容忍度来获得较精确的解，也可以使Newton 等非线性迭代法收敛更快。

影响迭代求解器收敛速度的因素：

单元的质量，块体模型也会含有很多长细比较差的单元，从而导致迭代求解器收敛缓慢。当评价跌迭代求解器的性能时，查看关于单元质量的警告信息是个不错的做法。

对于接触问题，迭代求解器通常将所有接触面及其围绕的单元设为一个域。因此，对于具有较大接触面的的模型，迭代求解器的性能表现不是很好。 思考：

为什么使用了五面体单元，而不是六 面体单元？

（1）精度问题；

（2）前处理的方便性； 太沙基一维固结理论：

数学模型：基本假设 ① 土层均质且饱和;

② 土颗粒和孔隙水本身不可压缩;

③ 压缩是单向压缩(水的渗流也是单方向的); ④ 荷载一次均布施加——即假设?z = 常数； ⑤ 渗流遵循Darcy定律，并且假设渗透系数为常数; ⑥ 压缩系数为常数； 土骨架的体积变化 ＝孔隙体积的变化 ＝流出的水量

基于有限元力场的极限平衡法，强度折减法 有限元强度折减法存在的问题，例如:

(1) 模型的局限（摩尔-库伦或Drucker-Prager）； (2) 计算量较大（可以算局限也可以不算）；

(3) 剪胀角的局限（通常把剪胀角近似为零，因为这样 做被认为是保守的）

(4) 不能够得到每个边坡完整的安全系数演化曲线。 *initial conditions, type=field, VARIABLE=1 Set-EntireSlope,0.5 *Field, VARIABLE=1 Set-EntireSlope,3.

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