2014年北京高考理科数学试题详解

所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c?2. c2. ?a2故椭圆C的离心率e?(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：

设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0.

????????2y因为OA⊥OB，所以OA?OB?0，即tx0＋2y0＝0，解得t??0.

x0t2当x0＝t时，y0??，代入椭圆C的方程，得t??2，

2故直线AB的方程为x??2，

圆心O到直线AB的距离d?2，此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．

y?2当x0≠t时，直线AB的方程为y?2=0(x－t)，

x0?t即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0. 圆心O到直线AB的距离d?又x02+2y02?4，t??|2x0?ty0|?y0?2???x0?t?22.

2y0， x04?x02x0x0?8x0?162x0242故d?2y022x0?x0x02?y02?4y0?4x022??2. 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．

20．(本小题13分)(2014北京，理20)对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，?，(an，bn)，记T1(P)＝a1＋b1，Tk(P)＝bk＋max{Tk－1(P)，a1＋a2＋?＋ak}(2≤k≤n)，其中max{Tk－1(P)，a1＋a2＋?＋ak}表示Tk－1(P)和a1＋a2＋?＋ak两个数中最大的数．

(1)对于数对序列P：(2,5)，(4,1)，求T1(P)，T2(P)的值；

(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；

(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)

分析：(1)直接根据定义式即可求出T1(P)和T2(P)的值；(2)先根据定义式分别写出T2(P)和T2(P′)，然后根据a，b，c，d中最小数的不同比较对应两个代数式的大小，即可求得T2(P)和T2(P′)的大小关系；(3)先比较已知数据大小，然后根据定义式写出使T5(P)最小的数对序列，依次求出T1(P)，T2(P)，T3(P)，T4(P)，T5(P)即可．

解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，

T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．

当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.

因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.

因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．

所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．

(3)数对序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.