2016年第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析(1)

第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析

2016.03.17 景德镇二中高二13班数学工作室

由于IMO试题比较困难，所以即使写了解答，同学们也不一定看得懂，或者理解试 的解法，为什么这样想呢？以及自己做时如何分析问题呢？本文尽量给予阐明清楚。

1. 如图，在圆内接六边形ABCDEF中，AB=BC=CD=DE，若线段AE内一点K满足 ∠BKC=∠KFE, ∠CKD=∠KFA，证明：KC=KF。 CCDD分析：圆中角的关系最为灵活也相对 BB简单，由已知圆周角∠AFE=∠BKD， E注意到弧BD=弧AE的一半，所以AEAKKOO又有∠AFE=∠BOD，从而∠BKD B'=∠BOD，B、K、O、D四点共圆， 注意到OC为此圆对称轴，所以在直 FF'径上，所以OK为∠BKD的外角平分 D'线，这样分别延长BK、DK交圆O于B’,D’,就可以得到对称性：B、B’;D、D’关于OK对称，由此，联系所证，只要C、F也关于OK对称，即得KC=KF，故不妨设点C关于OK的对称点为点F’，显然在圆上，下面设法证明F’=F，由已知，可想到先证∠BKC=∠KF’E， 首先由对称性有∠BKC=∠B’KF’,下面要证的是∠KF’E=∠B’KF’,这两个角是“内错角”，所以除非直线B’D∥F’E,除非弧B’F’=弧DE，由已知及对称性确实有弧B’F’=弧DE，从而得到∠BKC=∠KF’E，延长F’K交圆O于C’,当点F’变化时，弧EC’=2∠KF’E也跟着单调变化，所以使得∠BKC=∠KF’E的点F’唯一，又∠BKC=∠KFE，所以 F’=F，所以KC=KF。

2. 求最小的正实数?，使得对任意三个复数z1,z2,z3?{z?C||z|?1}，若z1?z2?z3?0，则|z1z2?z2z3?z3z1|2?|z1z2z3|2??。

分析：由连续性，问题等价于条件、结论都是?的情况。

在高等数学中有最大模原理，解析函数在自变量在边界时达到最大模。

所以，容易想到当|z1z2?z2z3?z3z1|2?|z1z2z3|2最大时，z1,z2,z3至少有两个在边界，即满足|z|?1，而|z1z2?z2z3?z3z1|2?|z1z2z3|2=|(z1z2?z2z3?z3z1)ei2?|2?|z1z2z3ei3?|2， 故不妨设|z1|?|z2|?1,Rez1?Rez2?x?0,则z3??2x，0?x?1, 2所以|z1z2?z2z3?z3z1|2?|z1z2z3|2?|1?4x2|2?|2x|2?1?4x2?16x4?1，所以?min?1

下面设法证明之

?1不妨设z1,z2,z3中z3的模最大，因为|z3|?1，将每个数都乘以?z3代替原来的数，则

左边更大，此时z3??1，因为z1?z2?z3?0，设z1?x?yi,z2?1?x?yi,x,y?R,y?0， 则0?x?1，代入化简得f?左边=2(2xy-y)2?(x?x2?y2?1)2?(x?x2?y2)2，先固定x，得fy?8y(x?x?y)，所以fy'先负后正，f先减后增，在两端最大， 当y?0时，f?2(x?x?)?2'221221?1， 2当y最大时，|z1|,|z2|至少一个为1，不妨设|z2|?1，以下同前面分析，即旋转为z1在x轴负半轴上，设z1??x(0?x?1)，则左边?(1?x)?x?1，所以?min?1。

2223. 给定整数n?2，设集合X?{(a1,a2,?,an)|ak?{0,1,?,k},k?1,2,?,n}，对任意元素s?(s1,s2,?,sn)?X,t?(t1,t2,?,tn)?X，定义s?t?(max{s1,t1},?,max{sn,tn})，

s?t?(min{s1,t1},?,min{sn,tn})，求X的非空真子集A的元素个数的最大值，使得对任

意s,t?A，均有s?t?A,s?t?A,

分析：如果取A?X，显然满足任意s,t?A，均有s?t?A,s?t?A,但是，不满足条件A是X的真子集，我们考虑去掉X的一些元素，使得得到的集合A满足后面的条件。 为此，考虑某个ak取少一个值k，这时A满足后面的条件，且|A|?k(n?1)!，当k?nk?1时得到此种情形的最大值|A|?nn!，元素能否再增加些呢？如果对此A添加一个元素

(s1,?,sn?1,n)，那么只有s?t?A运算才可能产生新的元素，由此运算可知 {(a1,?,an?1,n)|ak?sk,k?1,?,n?1}?A，所以如果对原来的A添加

{(a1,?,an?1,n)|an?1?0}，则这样的A满足所有条件，此时|A|?nn!?(n?1)(n?1)!

?(n?1)!?(n?1)!，同理再往下添加，则不行了，如果这是最大值，那么，当

|A|?(n?1)!?(n?1)!时，就不满足条件，也就是必定会有A不是X的真子集，即A?X，

下面设法证明：当|A|?(n?1)!?(n?1)!时，A?X，今对n行归纳法。 (1) n=1时，显然。

(2) 假设对n?k?1，成立，那么对n?k，将A分成k?1支Ai?{(a1,?,ak)?A|ak?i} ，则至少有一支，不妨设为Aj，有|Aj|?|A|(k?1)!?(k?1)!??k!?(k?2)!，注意到k?1k?1每支都对运算s?t,s?t封闭，由归纳假设，有Aj是满的，即Aj?{(a1,?,ak)?X|ak?j} ，因为A是X的真子集，所以至少有一支是不满的，不妨设为Al(l?j)，记si?则由s?t运算知s?(s1,?,sk?1,l)?Al，再将s与Aj的元素进行s?t运算知

(?,,a)i??Almaxai，

{(a1,?,ak?1,l)|ai?si}?Al，由si的定义知{(a1,?,ak?1,l)|ai?si}?Al，由于Al是不

满的，所以至少有一个si?i，所以|Al|?ik!?(k?1)(k?1)!， i?1所以 |A|?|A1|???|Ak|?kk!?(k?1)(k?1)!?(k?1)!?(k?1)!，得证。

d4. 设整数c,d?2，数列{an}满足a1?c,an?1?an?c(n?1,2,?)，

证明：对每个整数n?2，存在an的素因子p，使得对i?1,2,?,n?1，有p?|an。

分析：像这种不整除的问题，首先应考虑反证法，反设对某个an，不存在这样的p，

d即an的所有素因子都是a1,?,an?1的素因子，我们再来看递推式an?1?an?c，这种非线性

递推是比较复杂的，对此递推的把握容易想到这两点：整除与增长速度，考虑整除是因为联系所证的结论，递推式虽然复杂，但是考虑整除就不一定复杂了，比如当p|an时，

d有an?c?c(modp)，也有an?c?c(modp)，结果都是同样简单的；考虑增长速度是因

为d次幂增长非常快，显然要注意到这个特点，还有一个原因是，数论很常结合不等式技巧，所以应该如何考虑，应怎样分析，对水平高的同学来说条理是非常清晰的，思维更容易直指问题的本质。而不是乱想，而后才凑巧想到某个点。

d2接下来，考虑比较简单的增长速度（不等式），有an?an?1?c?an?1（因为an?1可以无2限大，故c相对较小，舍去，而d是有可能等于2的）?an?1an?2???a1a2?an?1，

即an?a1a2?an?1 ①

最后，考虑整除，注意到an的所有素因子都是a1,?,an?1的素因子，以下比较素数幂是自然的了，设an?p11?pkk,a1?an?1?p11?pkk，由①知，至少有一个?i??i，不妨设?1??1，设a1,?,an?1中ai的p1幂指数最大，为?，则???1，要进行比较，就要考虑

dddddd唯一的已知条件an?1?an ?c，an?an)d?c，?1?c?(an?2?c)?c???((ai?c)??d???1因为p1，有0?an?((0?c|aid，所以可以考虑modp1)d??????)d?c?an?(mdio??1 p1)，

这样就化简了，所以p1

??1 |an?i，这与ai的p1幂指数最大为?矛盾，所以假设不成立，得证。