专题09 直线与方程-备战2018年高考数学（文）之纠错笔记系列（原卷版）

易错点6 忽视圆的方程需要满足的条件致错

已知点O(0，0)在圆x＋y＋kx＋2ky＋2k＋k?1=0外，求k的取值范围．

11【错解】∵点O(0，0)在圆外，∴2k2＋k?1＞0，解得k＞或k＜?1.∴k的取值范围是(?∞，?1)∪(，＋∞)． 22【错因分析】本题忽视了圆的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圆的条件为D?E?4F?0，而导致错误． 2【试题解析】∵方程表示圆，∴k2＋(2k)2?4(2k2＋k?1)＞0，即3k2＋4k?4＜0，解得?2＜k＜. 31又∵点O(0，0)在圆外，∴2k2＋k?1＞0，解得k＞或k＜?1. 212综上所述，k的取值范围是(?2，?1)∪(，)． 2312【参考答案】(?2，?1)∪(，). 2322222

方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题．

1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法． 2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”． 3．与圆有关的对称问题

（1）圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． （2）圆关于点对称：

①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置； ②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．

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（3）圆关于直线对称：

①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置； ②两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．

4．对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．

6．已知圆x2?y2?2x?2y?k?0和定点P(1，?1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是

A．(?2，＋∞) C．(?2，2) 【答案】C

【解析】因为方程x2?y2?2x?2y?k?0表示一个圆，所以4＋4?4k>0，解得k<2.要使P在圆外，则

B．(?∞，2)

D．(?∞，?2)∪(2，＋∞)

12???1??2?1?2???1??k?0，解得k>?2，故?2

2

产生错解的原因是忽视了一个隐含条件：必须保证方程x2?y2?2x?2y?k?0表示一个圆．本题常会出现下列错误：

2选A．由题意知点P(1，?1)必须在圆的外部，则1???1??2?1?2???1??k?0，解得k>?2.

2注意：必须保证圆的一般形式需要满足的条件.

易错点7 利用数形结合的解题误区

2方程1－x=kx＋2有唯一解，则实数k的取值范围是

A．k=±3 B．k∈(?2，2)

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C．k2 D．k2或k=±3 【错解】选A或选C

【错因分析】因忽视y=1－x2中的y≥0而认为直线与圆相切而错选A．虽然注意到图形表示半圆但漏掉直线与圆相切的情形而错选C． 【试题解析】由题意知，直线y=kx＋2与半圆x2＋y2=1(y≥0)只有一个交点．结合图形易得k2或k=±3.

【参考答案】D

1．判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：

（1）明确圆心C的坐标（a，b）和半径长r，将直线方程化为一般式； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d； （3）比较d与r的大小，写出结论.

判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法. 2．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：

222一是利用半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理d?()?r求解；

l2二是若斜率为k的直线l与圆C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则|AB|?1?k2|x1?x2|.

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7．若直线y=x＋b与曲线y=4－x2有公共点，试求b的取值范围． 【答案】?2≤b≤22

【解析】如图所示，在坐标系内作出曲线y=4－x2(半圆)，直线l1：y=x?2，直线l2：y=x＋22.

当直线l：y=x＋b夹在l1与l2之间(包含l1，l2)时，l与曲线y=4－x2有公共点， 所以b的取值范围为?2≤b≤22. 易错点8 不理解两圆相切

已知圆x2?y2?2x?2y?1?0,圆x2?y2?6x?8y?9?0，判断两圆的位置关系.

【错解】由???x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，4x－4

??

x2＋y2－6x＋8y＋9＝0，

得4x?3y?4=0，即y=3.

将其代入方程x2

＋y2

＋2x＋2y＋1=0，得x2?(4x?4)29?2x?8x?83?1?0， 即9x2＋16x2＋16?32x＋18x＋3(8x?8)＋9=0，25x2＋10x＋1=0， 因为Δ=100?4×25=0.

所以两圆只有一个公共点，两圆相切．

【错因分析】将两圆方程联立，Δ=0说明两圆只有一个公共点，此时两圆有可能外切，也有可能内切．【试题解析】把两圆方程分别配方，化为标准方程为：(x＋1)2＋(y＋1)2=1，(x?3)2＋(y＋4)2=16， 所以C1(?1，?1)，C2(3，?4)，r1=1，r2=4.

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