专题09 直线与方程-备战2018年高考数学（文）之纠错笔记系列（原卷版）

易错点1 忽略90°倾斜角的特殊情形

求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．

3－21

【错解】由斜率公式可得直线AB的斜率k==. m－1m－1

1

①当m>1时，k=>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°；

m－11

<α<180°. ②当m<1时，k=m－1<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°

【错因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．

本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m=1，m>1，m<1三种情况进行讨论．

【试题解析】当m=1时，直线斜率不存在，此时直线倾斜角α=90°. 3－21

当m≠1时，由斜率公式可得k==. m－1m－1

1

①当m>1时，k=>0，所以直线倾斜角α的取值范围是0°<α<90°.

m－11

<α<180°. ②当m<1时，k=m－1<0，所以直线倾斜角α的取值范围是90°【参考答案】见试题解析.

1．由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围时要利用正切函数y=tan x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.

2．求解直线的倾斜角与斜率问题时要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y=tan x的单调性求斜率k的范围． 3．直线的倾斜角与斜率的关系

（1）任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．比如直线x?1的倾斜角为

?，但斜率不21

存在．

（2）直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：

α k 0° 0 0°<α<90° k>0 90° 不存在 90°<α<180° k<0

1．若直线l过点M(?2，m)，N(m，4)两点，则直线l的斜率为________. 4－m

【答案】不存在或m＋2

4－m

【解析】当m=?2时，直线斜率不存在；当m≠?2时，直线斜率k=m＋2.

易错点2 忽略斜率不存在的特殊情形

已知直线l1经过点A(3，a)，B(a?2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(?1，a?2)，若l1⊥l2，求a的值．

3－aa－53－aa－5

【错解】由l1⊥l2?k1·k2??1，又k1=a－5，k2=－3，所以a－5·－3=?1，解得a=0.

【错因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2?k1·k2??1，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑．

【试题解析】由题意知l2的斜率一定存在，则l2的斜率可能为0，下面对a进行讨论．

当k2?0时，a=5，此时k1不存在，所以两直线垂直． 当k2?0时，由k1·k2??1，得a=0. 所以a的值为0或5. 【参考答案】0或5

1．直线的斜率是否存在是解直线问题首先要考虑的问题，以防漏解． 2．斜率公式

2

（1）若直线l的倾斜角??90°，则斜率k?tan?．

（2）若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k=3．求直线方程的方法

（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中的系数，写出直线方程； （2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．

4．求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0，且A≥0.

5．已知三点A,B,C，若直线AB,AC的斜率相同，则A,B,C三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.

y2?y1．

x2?x1

2．已知直线l过点A(1，2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程． 【答案】x=1或3x?4y＋5=0.

【解析】当直线l过点A(1，2)且斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时原点到直线l的距离为1，满足题意．

当直线l过点A(1，2)且斜率存在时，由题意设直线l的方程为y?2=k(x?1)，即kx?y?k＋2=0. |－k＋2|3

因为原点到直线l的距离为1，所以2=1，解得k=.

4k＋13

所以所求直线l的方程为y?2=(x?1)，即3x?4y＋5=0.

4综上所述，所求直线l的方程为x=1或3x?4y＋5=0.

当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．比如本题常出现下列错误： |－k＋2|由题意设l的方程为y?2=k(x?1)，即kx?y?k＋2=0.因为原点到直线l的距离为1，所以2=1，解得k＋133k=.所以所求直线l的方程为y?2=(x?1)，即3x?4y＋5=0. 44符合题意的直线有两条，而上面忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了一条直线．

3

易错点3 忽视两条直线平行的条件

2当a为何值时，直线l1：y=?x＋2a与直线l2：y?a?2x?2平行？

??【错解】由题意，得a?2=?1，∴a=±1.

【错因分析】该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合． 【试题解析】∵l1∥l2，∴a?2=?1且2a≠2，解得a=?1.

【方法点睛】要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合． 【参考答案】a=?1.

1．两直线的位置关系问题中注意重合与平行的区别．

2．由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.

“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解. 3．两条直线的位置关系

斜截式?22 l1:y?k1x?b1l2:y?k2x?b2 一般式?l1:A1x?B1y?C1?0l2:A2x?B2y?C2?0 l1与l2相交 l1与l2垂直 k1?k2 k1k2??1 A1B2?A2B1?0 A1A2?B1B2?0 l1与l2平行 k1?k2且b1?b2 ?A1B2?A2B1?0?A1B2?A2B1?0或? ??B1C2?B2C1?0?AC12?A2C1?0A1B2?A2B1?AC12?A2C1?B1C2?B2C1?0 l1与l2重合 k1?k2且b1?b2

4