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第二讲 二次函数的最值问题

二次函数y?ax?bx?c(a?0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a?0时，

2b4ac-bb处取得最小值，无最大值；当a?0时，函数在x?－处取得2a4a2a4ac-b最大值，无最小值．

4a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问

函数在x?－题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

【例1】当?2?x?2时，求函数y?x?2x?3的最大值和最小值．

【例2】当1?x?2时，求函数y??x?x?1的最大值和最小值．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

【例3】当x?0时，求函数y??x(2?x)的取值范围．

22【例4】当t?x?t?1时，求函数y?125x?x?的最小值(其中t为常数)． 22

在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：

【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量

m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m?162?3x,30?x?54．

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式； (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

【例6】已知x1,x2是一元二次方程4kx?4kx?k?1?0的两个实数根．

(1) 是否存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??23成立？若存在，求出k的值；2若不存在，请您说明理由．

(2) 求使

x1x2??2的值为整数的实数k的整数值． x2x1