2019-2020年初中数学竞赛专题培训第二十一讲 分类与讨论

分类在数学中是常见的，让我们先从一个简单的例子开始．

有四张卡片，它们上面各写有一个数字：1，9，9，8．从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数，这样的数中有多少个是质数？

因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别给予讨论． 任取一张卡片，只能得3个数：1，8，9，其中没有质数；任取二张卡片，可得7个数：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89两个是质数；任取三张卡片，可得12个数：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三个数是质数；取四张，所得的任一个四位数的数字和是27，因而是3的倍数，不是质数．综上所述，质数共有2＋3=5个．

上面的解题方法称为分类讨论法．当我们要解决一个比较复杂的问题时，经常把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类讨论，得出结论．

分类讨论法是一种很重要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中．分类讨论一般分为三个步骤，首先确定分类对象，即对谁实施分类．第二是对对象实施分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要按照同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类．最后对讨论的结果进行综合，得出结论． 例1 求方程

2019-2020年初中数学竞赛专题培训第二十一讲 分类与讨论

的实根．

x+2x-1-4=0，

2

x-2x＋1-4=0， x1＝3，x2=-1．

2

说明 在去绝对值时，常常要分类讨论．

例2 解方程x-[x]=2，其中[x]是不超过x的最大整数． 解 由[x]的定义，可得

x≥[x]=x-2，

所以 x-x-2≤0， 解此不等式得

-1≤x≤2．

现把x的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解． (1)当-1≤x≤0时，原方程为

x- (-1)=2，

所以x=-1(因x=1不满足-1≤x＜0)． (2)当0≤x＜1时，原方程为

x=2．

(3)当1≤x＜2时，原方程为

x-1=2，

所以

222

2

2

2

(4)当x=2时，满足原方程． 例3 a是实数，解方程

x│x+1│+a=0．

分析 方程中既含有绝对值，又含有参数a，若以平方化去绝对值的话，则引入了高次方程，把问题更加复杂化了．对这种问题，宜讨论x的取值范围来求解．

解 (1)当x＜-1时，原方程变形为

x＋x-a=0．①

当△=1＋4a≥0(且a=-x│1＋x│＞0)，即a＞0时，①的解为

2

(2)当x≥-1时，原方程为

x＋x＋a=0．②

2

又x≥-1，即

综上所述，可得：当a＜0时，原方程的解为