2017-2018学年高中数学选修4-4全册学案含解析人教A版99P

另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程．

?π?1．在极坐标系中，过点?3，?且垂直于极轴的直线方程为( )

3??

3

A．ρ＝sin θ

23θ＝

2

33

B．ρ＝cos θ C．ρsin θ＝

22

D．ρcos

?333??π?解析：选D 由于点?3，?的直角坐标为?，?， 3???22?

3

则过此点垂直于x轴的直线方程为x＝，

23

化为极坐标方程为ρcos θ＝，

2所以选D.

π?π?2．设点A的极坐标为?2，?，直线l过点A且与极轴所成的角为，求直线l的极坐

6?3?标方程．

解：设P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)． πππ?π?2π

则α＝－＝，β＝π－?－θ?＝＋θ，

366?3?3ρ2

在△OPA中，有＝

π?2πsinsin?＋θ6?3

?π?，即ρsin?－θ?＝1.

?3???

?

直线的极坐标方程的应用 π?π??? 在极坐标系中，直线l的方程是ρsin?θ－?＝1，求点P?2，－?到直线l的距6?6???离．

将极坐标问题转化为直角坐标问题． π?? 点P?2，－?的直角坐标为(3，－1)．

6

??

π?ππ?直线l：ρsin?θ－?＝1可化为ρsin θ2cos－ρcos θ2sin＝1， 6?66?

28

即直线l的直角坐标方程为x－3y＋2＝0. ∴点P(3，－1)到直线x－3y＋2＝0的距离为

d＝|3＋3＋2|1＋?－3?

2

＝3＋1.

π?π???故点P?2，－?到直线ρsin?θ－?＝1的距离为3＋1. 6?6???

对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．

3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．

解析：由ρ＝2sin θ，得ρ＝2ρsin θ， 其直角坐标方程为x＋y＝2y，

ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，

??x＋y＝2y，

联立?

?x＝－1.???x＝－1，解得?

?y＝1.?

2

2

2

2

2

3π??点(－1,1)的极坐标为?2，?.

4??

?答案：?2，

?

3π? 4??

?π?4．(陕西高考)在极坐标系中，点?2，?到直线ρsin θ＝2 的距离是________．

6???π?解析：将极坐标?2，?转化为直角坐标为(3，1)．

6??

极坐标方程ρsin θ＝2转化为直角坐标方程为y＝2，

?π?则点(3，1)到直线y＝2的距离为1，即点?2，?到直线ρsin θ＝2的距离为1.

6??

答案：1

课时跟踪检测(四)

一、选择题

1．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A．ρ＝cos θ B．ρ＝sin θ C．ρcos θ＝1 D．ρsin θ＝1

解析：选C 设P(ρ，θ)是直线上任意一点，则显然有ρcos θ＝1，即为此直线的

29

极坐标方程．

2．7cos θ＋2sin θ＝0表示( ) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

解析：选A 两边同乘ρ，得7ρcos θ＋2ρsin θ＝0. 即7x＋2y＝0，表示直线．

3．(陕西高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )

A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 π

B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2

2π

C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1

2D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1

解析：选B 在直角坐标系中，圆的方程为x＋y＝2x，

π22

即(x－1)＋y＝1.从而垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0，x＝2，即θ＝(ρ∈

2R)和ρcos θ＝2.

π?7π???4．已知直线l的极坐标方程为2ρsin?θ－?＝2，点A的极坐标为A?22，?，4?4???则点A到直线l的距离为( )

552

A．2 B.2 C. D. 22π??解析：选D 由2ρsin?θ－?＝2，

4??得2ρ?

2?2?

sin θ－cos θ?＝2，

2?2?

2

2

7π??∴y－x＝1.由点A的极坐标为?22，?得点A的直角坐标为(2，－2)，∴d＝

4??|2＋2＋1|52

＝.

22

二、填空题

π??5．把极坐标方程ρcos?θ－?＝1化为直角坐标方程是________________________．

6??解析：将极坐标方程变为

31

ρcos θ＋ρsin θ＝1， 22

30

化为直角坐标方程为即3x＋y－2＝0.

31

x＋y＝1， 22

答案：3x＋y－2＝0

π??6．在极坐标系中，过点?22，?作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是

4??________．

解析：将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程，得x＋y＝4y， 即x＋(y－2)＝4，

π??将点的极坐标?22，?化为直角坐标为(2,2)，

4??

2－222

由于2＋(2－2)＝4，点(2,2)与圆心的连线的斜率k＝＝0，

2－0故所求的切线方程为y＝2， 故切线的极坐标方程为ρsin θ＝2. 答案：ρsin θ＝2

7．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.

解析：曲线C1的直角坐标方程为2x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x＋y＝a，

2

2

2

2

2

2

2

C1与x轴的交点坐标为?

?2?

，0?， ?2?

2

. 2

此点也在曲线C2上，代入解得a＝答案：

2 2

三、解答题

8．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程． 解：由题意知，直线的直角坐标方程为y－3＝2(x＋2)， 即2x－y＋7＝0.

设M(ρ，θ)为直线上任意一点，

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直角坐标方程2x－y＋7＝0， 得2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0，这就是所求的极坐标方程．

9．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．

解：将极坐标方程化为直角坐标方程，

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