2017-2018学年高中数学选修4-4全册学案含解析人教A版99P

πsin

63

∴sin∠OPO′＝223＝，

22π

∴∠OPO′＝. 3

πππ

∴∠OP′P＝π－－＝，

3332π

∴∠PP′x＝. 3

2π

∴∠PO′x′＝. 3

?2π?∴P点的新坐标为?2，?.

3??

(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)， πππ

则ρ＝4，θ＝＋＝. 362

?π?∴P点的新坐标为?4，?.

2??

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1．圆的极坐标方程

1．曲线的极坐标方程

(1)在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．

(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤：

①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点． ②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式． ③将列出的关系式整理、化简． ④证明所得方程就是曲线的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程

(1)圆心在C(a,0)(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ. (2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r.

?π?(3)圆心在点?a，?处且过极点的圆的方程为ρ＝2asin_θ(0≤θ≤π)．

2??

圆的极坐标方程 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程． 结合圆的定义求其极坐标方程．

如图，在圆周上任取一点P， 设其极坐标为(ρ，θ)． 由余弦定理知：

CP2＝OP2＋OC2－2OP2OCcos∠COP，

故其极坐标方程为r＝ρ0＋ρ－2ρρ0cos(θ－θ0)．

几种特殊情形下的圆的极坐标方程

当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r＝ρ0＋ρ－2ρρ0cos θ，若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ，若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos(θ－θ0)，

21

2

2

2

2

2

2

这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．

a?aπ?1．在极坐标系中，以?，?为圆心，为半径的圆的方程是________． 2?22?

解析：即在直角坐标系中以?0，?为圆心，为半径的圆，

2?2?

?

a?

a?a?2a∴方程为x＋?y－?＝.

?2?4

2

2

即：x＋y－ay＝0，化为极坐标方程为：ρ＝asin θ. 答案：ρ＝asin θ

22

?3π?2．求圆心在A?2，?处并且过极点的圆的极坐标方程．

2??

解：设M(ρ，θ)为圆上除O，B外的任意一点，连接OM，MB，则有OB＝4，OM＝ρ，3π

∠MOB＝θ－π.∠BMO＝，

22

从而△BOM为直角三角形． ∴|OM|＝|OB|cos∠MOB，

3??即ρ＝4cos?θ－π?＝－4sin θ.

2??

极坐标方程与直角坐标方程的互化 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化： (1)y＝4x；(2)x＋y－2x－1＝0； 1

(3)ρ＝.

2－cos θ

将方程的互化转化为点的互化：

??x＝ρcos θ，?

?y＝ρsin θ，?

2

2

2

ρ＝x＋y，??

?ytan θ＝?x≠0?.?x?

222

2

(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝4x， 得(ρsin θ)＝4ρcos θ. 化简，得ρsinθ＝4cos θ. (2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ

22

22

代入x＋y－2x－1＝0，

得(ρcos θ)＋(ρsin θ)－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ－2ρcos θ－1＝0. 1

(3)∵ρ＝，

2－cos θ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2x＋y－x＝1.

化简，得3x＋4y－2x－1＝0.

在进行两种坐标方程间的互化时，要注意

(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．

(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．

(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．

(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端．应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形；否则，不是等价变形．

3．把下列直角坐标方程化为极坐标方程． (1)y＝3x； (2)x－y＝1.

解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝3x，得 πρsin θ＝3ρcos θ，从而θ＝.

3

(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x－y＝1，得 122222

ρcosθ－ρsinθ＝1，化简，得ρ＝.

cos 2θ4．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρcos 2θ＝1； π??(2)ρ＝2cos?θ－?. 4??

解：(1)因为ρcos 2θ＝1，所以ρcosθ－ρsinθ＝1. 所以化为直角坐标方程为x－y＝1.

2

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