2017-2018学年高中数学选修4-4全册学案含解析人教A版99P

证明：取BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设A(－a，h)，B(－b,0)， 则D(a，h)，C(b,0)． ∴|AC|＝?b＋a?＋h， |BD|＝?a＋b?＋h. ∴|AC|＝|BD|，

即等腰梯形ABCD中，AC＝BD.

4．已知△ABC中，D为边BC的中点，求证：AB＋AC＝2(AD＋BD)． 证明：以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)．

设B(a,0)，C(b，c)， 则D?

2

2

2

2

2

22

2

?a＋b，c?，

?2??2

2

22

2

2

2

所以AD＋BD

?a＋b?c?a－b?c＝＋＋＋ 44441222

＝(a＋b＋c)， 2又AB＋AC＝a＋b＋c， 所以AB＋AC＝2(AD＋BD).

直角坐标系中的伸缩变换 2

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2

2

2

2

2

2

2

求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x＋y＝1变成曲线 设出变换公式，代入方程，比较系数，得出伸缩变换．

??x′＝λ

设变换为?

?y′＝μ?

22

x′2y′29＋4

＝1.

x，λ>0，y，μ>0.

22

λxμy代入方程＋＝1，得＋＝1.

9494与x＋y＝1比较，将其变形为 ＝3，μ＝2.

??x′＝3x，

∴?

?y′＝2y.?

2

2

x′2y′2

22

λ2μ2

x＋y＝1，比较系数得λ94

22

即将圆x＋y＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的

22

8

2倍，可得到椭圆

x′2y′2

9＋4

＝1.

??x′＝λ?坐标伸缩变换φ：??y′＝μ

x，λ＞0，y，μ＞0.

注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，

平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知变换前、后曲线方程也可求伸缩变换φ.

5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x＋9y＝36变成曲线x′＋y′＝1.

??x′＝λ

解：设变换为?

?y′＝μ?

2

2

2

2

x，λ>0，y，μ>0，

可将其代入x′＋y′＝1，得λx＋μy＝1.将

222222

429222

4x＋9y＝36变为 x＋y＝1，

3636

12122222

即x＋y＝1，与λx＋μy＝1比较， 9411比较系数得λ＝，μ＝. 32

??

∴?1

y′＝??2y，

x′＝x，

1

3

122

即将椭圆4x＋9y＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标

3

122

变为原来的，可得到圆x′＋y′＝1.

2

??x′＝2x，

6．求4x－9y＝1经过伸缩变换?

?y′＝3y?

2

2

后的图形所对应的方程．

??x′＝2x，

解：由伸缩变换?

??y′＝3y

1

x＝x′，??2得?1

y＝??3y′，

2

将其代入4x－9y＝1，

22

?1?2?1?2

得4?x′?－9?y′?＝1.

?2??3?

整理，得x′－y′＝1.

∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x′－y′＝1.

课时跟踪检测(一)

9

2

2

2

一、选择题

1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A．椭圆 B．比原来大的圆 C．比原来小的圆 D．双曲线 解析：选D 由伸缩变换的意义可得．

2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为( ) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

解析：选C 由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．

3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN―→|2|MP―→|＋MN―→2NP―→＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )

A．y＝8x B．y＝－8x C．y＝4x D．y＝－4x

解析：选B 由题意，得MN―→＝(4,0)，MP―→＝(x＋2，y)，NP―→＝(x－2，y)，由|MN―→|2|MP―→|＋MN―→2NP―→＝0，

得4?x＋2?＋y＋4(x－2)＝0，整理，得y＝－8x.

4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( )

2

2

2

2

2

2

2

x＝2x′??A.?1

y＝y′??3

x′＝2x??

B.?1

y′＝y?3?

??x＝2x′

C.?

?y＝3y′?

??x′＝2x D.?

?y′＝3y?

??x′＝λ

解析：选B 设?

?y′＝μ?

x，λ>0，y，μ>0，

则μy＝sin λx，

1

即y＝sin λx.

μ

11

比较y＝3sin 2x与y＝sin λx，则有＝3，λ＝2.

μμ

x′＝2x，??1

∴μ＝，λ＝2.∴?1

3y′＝y.?3?

二、填空题

??x′＝2x，5．y＝cos x经过伸缩变换?

?y′＝3y?

后，曲线方程变为________．

??x′＝2x，

解析：由?

??y′＝3y，

1

x＝x′，??2得?1

y＝??3y′，

10

代入y＝cos x，

111

得y′＝cosx′，即y′＝3cosx′. 322答案：y＝3cos2

2

x′

2

2

6．把圆X＋Y＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x＋＝1，则坐标变换公式是________．

16

??x＝λ

解析：设?

??y＝μ

y2

X ?λ>0?，Y ?μ>0?，

??λ

则?yY＝??μ.

2

xX＝，

2

代入X＋Y＝16得 2＋2＝1.

16λ16μ

22

x2y2

∴16λ＝1,16μ＝16. 1??λ＝，4∴???μ＝1.

X??x＝，答案：?4

??y＝Y

X??x＝，

故?4??y＝Y.

7．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为________． 解析：∵△ABC的周长为10，

∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4， 即有|AB|＋|AC|＝6＞4.

∴点A轨迹为椭圆除去B，C两点，且2a＝6,2c＝4. ∴a＝3，c＝2，b＝5.

∴点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． 95答案：＋＝1(y≠0)

95三、解答题

8. 在同一平面直角坐标系中，将曲线x－36y－8x＋12＝0变成曲线x′－y′－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．

解：x－36y－8x＋12＝0可化为?

2

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2

2

2

2

2

x2y2

x2y2

?x－4?2－9y2＝1.①

??2?

x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②

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