2017-2018学年高中数学选修4-4全册学案含解析人教A版99P

?ππ?从而知M点的球坐标为?2，，?.

44??

由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公

x＝rsin φcos θ，??

式?y＝rsin φsin θ，??z＝rcos φ，

2

zr求出r，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r＝x＋y222

＋z，tan θ＝，cos φ＝.特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．

3．求下列各点的球坐标：

(1)M(1，3，2)；(2)N(－1,1，－2)．

解：(1)r＝x＋y＋z＝ 1＋?3?＋2＝22， 由z＝rcos φ，得 cos φ＝＝π

∴φ＝，

4又tan θ＝＝π∴θ＝，

3

ππ??∴它的球坐标为?22，，?. 43??(2)由变换公式，得

2

2

2

2

2

2

yxz22

＝. r222

yx3

＝3，x>0，y>0， 1

r＝x2＋y2＋z2＝ ?－1?2＋12＋?－2?2＝2.

由z＝rcos φ，得cos φ＝＝－3π∴φ＝. 4又tan θ＝＝3π∴θ＝. 4

40

zr2. 2

y1

＝－1，x＜0，y＞0， x－1

?3π3π?∴它的球坐标为?2，，?.

44??

课时跟踪检测(六)

一、选择题

?ππ?1．已知一个点的球坐标为?1，，?，则它的方位角为( )

63??

A.

π3πππ

B. C. D. 3426

解析：选A 由球坐标的定义可知选A.

5??2．设点M的柱坐标为?2，π，2?，则它的球坐标为( )

4??

?ππ??π5 π? C.?2，5 π，π? D.?2，3 π，π?

A.?2，，? B.?2，，??44?44?44?44????????

解析：选B 设点M的直角坐标为(x，y，z)，

???y＝??z＝

x＝2cos

2sin2，

5 π

，4

5 π

，4

2

＝－1，?x故?y＝－1，?z＝2.

2

设点M的球坐标为(ρ，φ，θ)．

则ρ＝?－1?＋?－1?＋?2?＝2， π

由2＝2cos φ知φ＝. 4－1

又tan θ＝＝1，

－15 π

故θ＝，

4

2

?π5 π?.

故点M的球坐标为?2，，?44??

?π?3．点P的球坐标为?1，，π?，则它的直角坐标为( )

2??

A．(1,0,0) B．(－1，－1,0) C．(0，－1,0) D．(－1,0,0) π

解析：选D x＝rsin φcos θ＝12sin2cos π＝－1，

2

41

y＝rsin φsin θ＝12sin2sin π＝0， z＝rcos φ＝12cos＝0.

∴它的直角坐标为(－1,0,0)．

4．设点M的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( )

π2

π2

?ππ??π5π??5ππ??3ππ?A.?2，，? B.?2，，? C.?2，，? D.?2，，?

44?44?44?44?????

解析：选B 由坐标变换公式，得

z2π

r＝x2＋y2＋z2＝2，cos φ＝＝，∴φ＝. r24y－15π

∵tan θ＝＝＝1，∴θ＝. x－14

?π5π?∴M的球坐标为?2，，?.

44??

二、填空题

?π3π?5．已知点M的球坐标为?4，，?，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是

44

?

?

________．

解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标． 3π??答案：(－2,2,22) ?22，，22? 4

??

6．在球坐标系中，方程r＝1表示________． 解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状． 答案：球心在原点，半径为1的球面

?ππ??3π3π?7．在球坐标系中A?2，，?和B?2，，?的距离为________．

44?44???

解析：A，B两点化为直角坐标分别为：A(1,1，2)，B(－1,1，－2)． ∴|AB|＝[1－?－1?]＋?1－1?＋[2－?－2?]＝23. 答案：23 三、解答题

8．将下列各点的球坐标化为直角坐标．

2

2

2

?π5π?(1)?4，，?；

23???3π?(2)?8，，π?. 4??

42

π5ππ5π

解：(1)x＝4sincos＝2，y＝4sinsin＝－23，

2323

z＝4cos＝0，

∴它的直角坐标为(2，－23，0)． 3π

(2)x＝8sincos π＝－42，

4

π2

y＝8sin

3π3π

sin π＝0，z＝8cos＝－42， 44

∴它的直角坐标为(－42，0，－42)． 9．如图，请你说出点M的球坐标．

解：

由球坐标的定义，记|OM|＝R，OM与z轴正向所夹的角为φ，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(R，φ，θ)表示．

∴点M的球坐标为：M(R，φ，θ)．

10．如图建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A，B，C，

D的球坐标．(其中O是△BCD的中心)

解：∵O是△BCD的中心， ∴OC＝OD＝OB＝∴C?36

，AO＝. 33

?3π??3π2π?

，，0?，D?，，?，

3??32??32

B?

?3π4π??6?

，，?，A?，0，0?.

3??3?32?

43