2017-2018学年高中数学选修4-4全册学案含解析人教A版99P

∴柱坐标为(1,0,5)． 答案：(1,0,5)

7．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________． 答案：中心轴为z轴，底半径为2的圆柱面 三、解答题

8．求点M(1,1,3)关于xOz平面对称点的柱坐标． 解：点M(1,1,3)关于xOz平面的对称点为(1，－1,3)．

x＝ρcos θ，??

由变换公式?y＝ρsin θ，

??z＝z2

2

2

得

ρ＝1＋(－1)＝2，∴ρ＝2. －1

tan θ＝＝－1，

17π

又x＞0，y＜0，∴θ＝. 4

?∴其关于xOz平面的对称点的柱坐标为?2，

?

7π

，3??. 4?

π??9．已知点M的柱坐标为?2，，1?，求M关于原点O对称的点的柱坐标．

4??π??解：M?2，，1?的直角坐标为

4??

??

?y＝2sinπ4＝1，??z＝1，

2

2

x＝2cos＝1，

π

4

2

∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)． ∵ρ＝(－1)＋(－1)＝2， －1

∴ρ＝2.tan θ＝＝1，

－1又x＜0，y＜0， 5π∴θ＝. 4

5 π?，－1?∴其柱坐标为?2，?. 4??

?∴点M关于原点O对称的点的柱坐标为?2，

?

36

5π

，－1??. 4?

10．建立适当的柱坐标系表示棱长为3的正四面体各个顶点的坐标．

解：以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴，在平面BCD上建立极坐标系．过O点与平面BCD垂直的线为z轴．

过A作AA′垂直于平面BCD，垂足为A′，

3222

则|BA′|＝33＝3，|AA′|＝3－?3?＝6，

23π

∠A′Bx＝90°－30°＝60°＝，

3

π???π??π?则A?3，， 6?，B(0,0,0)，C?3，，0?，D?3，，0?. 362??????

37

2．球坐标系

球坐标系

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.

(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为

x＝rsin φcos θ，??

?y＝rsin φsin θ，??z＝rcos φ.

将点的球坐标化为直角坐标 ?3ππ? 已知点P的球坐标为?4，，?，求它的直角坐标．

44??

直接套用变换公式求解． 由变换公式，得

x＝rsin φcos θ＝4siny＝rsin φsin θ＝4sinz＝rcos φ＝4cos

3ππ

cos＝2. 443ππ

sin＝2. 44

3π

＝－22. 4

∴它的直角坐标为(2,2，－22)．

已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.

1．求下列各点的直角坐标：

38

?ππ??3π7π?(1)M?2，，?；(2)N?2，，?.

63?46???

解：(1)由变换公式，得

π

6π6

π3π3

12

x＝rsin φcos θ＝2sincos＝， y＝rsin φsin θ＝2sinsin＝z＝rcos φ＝2cos＝3.

3?1?

∴它的直角坐标是?，，3?.

?22?(2)由变换公式，得

π6

3， 2

x＝rsin φcos θ＝2siny＝rsin φsin θ＝2sinz＝rcos φ＝2cos

3π7π6cos＝－. 4623π7π2sin＝－. 462

3π

＝－2. 4

∴它的直角坐标为?－

??62?，－，－2?. 22?

2．将点M的球坐标(π，π，π)化成直角坐标． 解：∵(r，φ，θ)＝(π，π，π)， ∴x＝rsin φcos θ＝0，

y＝rsin φsin θ＝0， z＝rcos φ＝－π.

∴点M的直角坐标为(0,0，－π).

将点的直角坐标化为球坐标 设点M的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标． 直接套用坐标变换公式求解． 由坐标变换公式，可得

r＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋?2?2＝2.

由rcos φ＝z＝2， 得cos φ＝2

r＝

2π，φ＝. 24

yπ

又tan θ＝＝1，θ＝(M在第一象限)，

x4

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