2017-2018学年高中数学选修4-4全册学案含解析人教A版99P

2017~2018学人教A版高中数学 选修4-4全册学案解析版

目 录

第一讲坐标系一平面直角坐标系

第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程1圆的极坐标方程 第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程2直线的极坐标方程 第一讲坐标系二极坐标系

第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系 第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介2球坐标系 第一讲坐标系本讲高考热点解读与高频考点例析

第二讲参数方程一曲线的参数方程1参数方程的概念 第二讲参数方程一曲线的参数方程2圆的参数方程

第二讲参数方程一曲线的参数方程3参数方程和普通方程的互化

第二讲参数方程三直线的参数方程

第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程1椭圆的参数方程 第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程2双曲线的参数方程3抛物线的参数方程

第二讲参数方程四渐开线与摆线

第二讲参数方程本讲高考热点解读与高频考点例析

本讲高考热点解读与高频考点例析

�V考情分析

通过对近几年高考试题的分析可知，高考对本讲的考查主要涉及极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主．

�V真题体验

?π?1．(北京高考)在极坐标系中，点?2，?到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为

3??

________．

??x＝ρcos θ，

解析：由?

?y＝ρsin θ?

?π?知极坐标?2，?可化为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin

3??

|1＋333－6|

θ)＝6可化为x＋3y－6＝0.故所求距离为d＝＝1. 22

1＋?3?

答案：1

2．(广东高考)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsinθ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线

2

C1和C2交点的直角坐标为________．

解析：由ρsinθ＝cos θ，

得ρsinθ＝ρcos θ，其直角坐标方程为y＝x，ρsin θ＝1的直角坐标方程为y??y＝x，＝1，由?

?y＝1?

22

2

2

2

得C1和C2的交点为(1,1)．

答案：(1,1)

π

3．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最

3大值是________．

解析：圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x＋y－8y＝0，即x＋(y－4)＝16，直线 θπ

＝(ρ∈R)化为直角坐标方程为y＝3x，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为3圆心到直线的距离再加上半径．

圆心(0,4)到直线y＝3x的距离为圆上的点到直线的最大距离为6.

答案：6

4

?3?＋?－1?

2

2

2

2

2

2

＝2，又圆的半径r＝4，所以

1

用解析法解决几何问题 利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是要兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴、y轴(坐标原点)．

坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．

已知圆的半径为6，圆内一定点P离圆心的距离为4，A，B是圆上的两动点且满足∠

APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．

如图，以圆心O为原点，OP所在直线为x轴建立直角坐标系，则圆的方程为x＋y＝36，P(4,0)．

2

2

设Q(x，y)，PQ与AB相交于P1， 则P1?

?4＋x，y?.

2??2?

2

2

由|PQ|＝|AB|＝2r－|OP1|， 即?x－4?＋y＝2化简，可得x＋y＝56.

即所求顶点Q的轨迹方程为x＋y＝56.

平面直角坐标系中的伸缩变换 ??x′＝λ

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：?

?y′＝μ?

2

2

2

2

2

2

36－??

??4＋x?2＋?y?2?，

??????2??2??

x，λ＞0，y，μ＞0

的

作用下，点P(x，y)对应点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．

??x′＝2x，

在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换?

?y′＝2y?

后，曲线C变为曲线(x′－

5)＋(y′＋6)＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．

??x′＝2x，

将?

??y′＝2y2

22

代入

2

(x′－5)＋(y′＋6)＝1中， 得(2x－5)＋(2y＋6)＝1. 1?5?22

化简，得?x－?＋(y＋3)＝. 4?2?

2

2

2

1?5?该曲线是以?，－3?为圆心，半径为的圆. 2?2?

极坐标方程 在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0，如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．

由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．

求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．

1

△ABC底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，建立极坐标系，求顶点A2的轨迹的极坐标方程．

如图：令A(ρ，θ)， θ

△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，

2又|BC|＝10，|AB|＝ρ. 由正弦定理，得 10

，

3θ?θ?sin?π－?sin2?2?

＝

化简，得点A的轨迹的极坐标方程为 ρ＝10＋20cos θ.

极坐标与直角坐标的互化

ρ

互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．

互化公式为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ ρ＝x＋y，tan θ＝?x≠0?

直角坐标方程化为极坐标方程直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标

2

2

2

yx 3