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x??时，f(x)的变化趋势；还可考虑自变量x?a时，f(x)的变化趋

势, L

由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限.

下面，我们就依次讨论这些极限.

§1函数极限的概念

教学内容：第三章 函数极限——§1函数极限的概念

教学目的：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限．

?教学要求：掌握当x?x0；x??；x???；x???；x?x?0；x?x0时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限． 教学建议：

本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要

掌握当x?x0时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函 教学过程：

一、x???时函数的极限 1、引言

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设函数定义在[a,??)上，类似于数列情形，我们研究当自变量

x???时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ.这种情形能

否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质. 例如 f(x)?,x无限增大时，f(x)无限地接近于0；g(x)?arctgx,x无限增大时，f(x)无限地接近于；h(x)?x,x无限增大时，f(x)与任何数都不能无限地接近.正因为如此，所以才有必要考虑x???时，f(x)的变化趋势.我们把象f(x)，g(x)这样当x???时，对应函数值无限地接近于某个定数A的函数称为“当x???时有极限A”.

[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当x???时函数极限的精确定义如下. 2. x???时函数极限的定义

定义1 设f为定义在[a,??)上的函数，A为实数.若对任给的存在正数M(?a)，使得当x?M时有 |f(x)?A|??, 则称函数f当??0，

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1x?2x???时以A为极限.记作

x???limf(x)?A或f(x)?A(x???).

3、 几点注记

（1） 定义1中作用?与数列极限中?作用相同，衡量f(x)与A的接近程度，正数M的作用与数列极限定义中N相类似，表明x充分大的程度；但这里所考虑的是比M大的所有实数x，而不仅仅是正整数n. （2） limf(x)?A的邻域描述：??,?U(??),当x?U(??)时，

x???f(x)?U(A;?).

（3） limf(x)?A的几何意义：对??，就有y?A??和y?A??两

x???条直线，形成以A为中心线，以2?为宽的带形区域.“当x?M时有

|f(x)?A|??”表示：在直线x?M的右方，曲线y?f(x)全部落在这个

带形区域内.

如果?给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x?M一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数M，使得曲线y?f(x)在

x?M的右边的全部落在这个更窄的带形区域内.

（4） 现记f为定义在U(??)或U(?)上的函数，当x???或x??时，若函数值f(x)能无限地接近于常数A，则称f当x???或x??时时以A为极限，分别记作，

limf(x)?A或f(x)?A(x???)，

x??? limf(x)?A或f(x)?A(x??). x??这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下：

x???limf(x)?A????0,?M?0,当x??M时，|f(x)?A|??，

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limf(x)?A????0,?M?0,当|x|?M时，|f(x)?A|??.

x??（5）推论：设f(x)为定义在U(?)上的函数，则

limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A.

x??x???x???4．利用limf(x)＝Ａ的定义验证极限等式举例

x???例1 证明 lim?0.

x??例2 证明 1）limarctgx??；2）limarctgx?x???1x??22x???.

二、x?x0时函数的极限

1、引言

上节讨论的函数f当x???时的极限，是假定f为定义在[a,??)上的函数，这事实上是U(??)，即f为定义在U(??)上，考虑x???时

f(x)是否趋于某个定数A.

本节假定f为定义在点x0的某个空心邻域U0?x0?内的函数，.现在讨论当x?x0(x?x0)时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列.

先看下面几个例子：

例1 f(x)?1(x?0).（f(x)是定义在U0(0)上的函数，当x?0时，

f(x)?1）

x2?4例2 f(x)?.（f(x)是定义在U0(2)上的函数，当x?2时，

x?2f(x)?4）

例3 f(x)?.（f(x)是定义在U0(0)上的函数，当x?0时，

f(x)??）

1x由上述例子可见，对有些函数，当x?x0(x?x0)时，对应的函数值f(x)能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质.所以有必要来

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