人教版高中数学选修(2-1)-3.2《立体几何中的向量方法复习课》教学设计

章末复习课 （名师：蒋力）

一、思维导图

空间向量的加减运算 空间向量及其运算 空间向量的数乘运算 共线向量定理 共面向量定理 空间向量与立体几何 空间向量的数量积运算 空间向量基本定理 平行与垂直的条件 空间向量的坐标运算 立体几何中的向量方法 向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量 用空间向量证平行与垂直问题 求空间角 求空间距离 二、例题讲解

例1．已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD＝O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝1，得到三棱锥A－BCD，如图所示．

(1)若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD； (2)求证：AO⊥平面BCD； (3)求二面角A－BC－D的余弦值． 3

答案：(1)见解析；(2)见解析；(3)3

解析：【知识点】用向量法解决平行垂直和二面角问题． 2【解题过程】在△AOC中，∵AC＝1，AO＝CO＝2， ∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO．

又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，∴AO⊥BD，CO⊥BD，即AO、CO、BD两两垂直，

以O为原点，OC、OD、OA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则2222

C(2,0,0)、D(0,2,0)、A(0,0,2)、B(0,－2,0)．

222222

(1)∵M为AB的中点∴M(0,－4,4)，OM＝(0,－4,4)，DA＝(0,－2,2)， ∴OM?DA，∴OM∥DA，

∵OM ?平面ACD，∴OM∥平面ACD．

(2)由于AO⊥BD，AO⊥OC，OC∩BD＝O，∴AO⊥平面BCD．

→＝(0,0，2)是平面BCD的一个法向量．＝(2,0,－2)，＝(2，(3)易知OAAC222BC22

2，0)，设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则nBC?0,nAC?0．

12???即????2x?22x?22y?02 2z?02所以y＝－x且z＝x，令x＝1，则y＝－1，z＝1，得n＝(1,－1,1)． 从而cos?n,OA??nOAnOA?3，易知二面角A－BC－D为锐二面角，∴二面角33

A－BC－D的余弦值为3．