泉州市2010-2011年度高一年模块水平测试数学必修2试题

泉州市2010—2011学年度高一年第二学段新课程模块水平测试

2011.1

数 学（必修2）参考答案

一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分．） 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 B 6 B 7 D 8 A 9 A 10 C 11 B 12 B 13 C 14 D 15 C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．） 16．(4,5) 17．26 18．3x?4y?25?0 19．

1 20．② 3三、解答题（本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. （本小题满分10分）

已知一个空间几何体的三视图及部分数据信息如右图所示，其中正视图和侧（左）视图是全等的矩形，俯视图是一个圆.

试求该几何体的体积V和表面积S.

解：由三视图知该几何体为圆柱， --------2分

且该圆柱的底面半径为1cm，高为3cm，-------4分 ∴V???1?3?3?(cm)，-------7分

S?2???1?2???1?3?8?(cm).-------10分

22. （本小题满分10分）

已知四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD为菱形，PD?底面ABCD，点E为棱PD的中点. （Ⅰ）求证：PB∥平面ACE； （Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面ACE. 证明：（Ⅰ）设AC?BD?O，连接OE， ∵四边形ABCD为菱形，

∴点O为棱BD的中点， 又∵点E为棱PD的中点，

∴OE为?DBP的中位线，

E D C P 2223

∴OE∥PB，-------2分

又∵PB?平面ACE，OE?平面ACE， ∴PB∥平面ACE.-------5分 （Ⅱ）∵四边形ABCD为菱形， ∴AC?BD，-------6分

∵PD?底面ABCD,AC?底面ABCD ∴PD?AC，-------7分

∵BD?PD?D，BD、PD?平面PBD，

∴AC?底面PBD，-------9分 又∵AC?平面ACE，

∴平面PBD⊥平面ACE. -------10分

23. （本小题满分10分）

如图，三棱锥D?ABC中,AD?BD, AE?BE,平面CDE?平面ABC, 请判断直线AB与直线CD能否垂直，并说明理由. 解：AB?CD -------2分 证明如下： 作DO?CE于点O，

∵平面CDE?平面?平面ABC,平面CDEADDCAECEABC?,EDO?平面CDE, C∴DO?平面ABC，-------5分 ∵AB?平面ABC，

∴DO?AB， ----------6分 ∵AD?BD, AE?BE， ∴AB?DE，

又DO?DE?D，DO?平面CDE,DE?平面CDE， ∴AB?平面CDE，-------9分 又∵CD?平面CDE，

∴AB?CD. -------10分

24、（本小题满分12分）

BB 如图所示的Rt?EAF区域是一不能占用的文物保护区，其中AE?40m，AF?30m，并已测得该保护区的管理处C距AE所在直线100m，距AF所在直线120m.为了美化游览环境，准备修建一个矩形

y 花园PQRC,其中顶点Q恰好在Rt?EAF的斜边EF上，且PQ∥AF,RQ∥AE.为研究问题的需要，P D C 以A为原点，AE所在直线为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系. （Ⅰ）求直线EF的方程；

F A Q E R B x

（Ⅱ）应将矩形花园PQRC的顶点Q取在何处，才能使花园的占地面积最大？ 解：（Ⅰ）由题意，得E(40,0)、F(0,30)， ∴直线EF的斜率k?30?03??， --------2分

0?4043x?30即3x?4y?120?0.----4分 43x). ------5分 4∴直线EF的方程为：y??（Ⅱ）如图，∵Q在线段EF上，∴设Q(x,30?延长CP与y轴交于D，延长CR与x轴交于B，由平面几何知识易得CD?y轴，CB?x轴， ∴|CD|?120m，|CB|?100m. 则|QR|?120?x，|PQ|?100?(30?33x)?70?x， ------6分 443x)(0?x?40) 4∴矩形PQRC的面积S?(120?x)(70?化简得 S??配方得 S??∴当x?当x?32x?20x?8400 (0?x?40)， -------8分 434025600 (0?x?40)， (x?)2?43340256002时，S取得最大值为m. -------10分 33403时，由y??x?30计算得y?20. 3440m处,才能使花园的3∴应将矩形花园PQRC的顶点Q取在距AE所在直线20m，距AF所在直线占地面积最大.-------12分（注：没写定义域扣1分）25. （本小题满分13分）

已知圆心为C(?2,6)的圆经过点M(0,6?23). （Ⅰ）求圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l过点P(0,5)且被圆C截得的线段长为43，求直线l的方程；

（Ⅲ）是否存在斜率是1的直线l?，使得以l?被圆C所截得的弦EF为直径的圆经过原点？若存在，试求出直线l?的方程；若不存在，请说明理由.

解：（Ⅰ）圆C的半径为|CM|?2(0?2)2?(6?23?6)2?4, --------1分

2∴圆C的标准方程为(x?2)?(y?6)?16.---------------------------3分 （Ⅱ）方法一 如图所示，设直线l与圆C交于A,B两点，且D是AB的中点， 则|AB|?43， |AD|?23且CD?AB， ∵圆C的半径为4，即|AC|?4

∴在Rt?ACD中，可得|CD|?|AC|?|AD|?2，即点C到直线l的距离为2. -----4分 （i）当所求直线l的斜率存在时，设所求直线的方程为y?kx?5,即kx?y?5?0. -----5分

由点到直线的距离公式得：

?2k?6?5k2?(?1)222=2，解得k?

3. 4

-------7分

∴此时直线l的方程为3x?4y?20?0.

（ii）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x?0.

将x?0代入(x?2)?(y?6)?16得(y?6)?16?4?12，y?6??23， ∴y1?6?23,y2?6?23,|y1?y2|?43 ∴方程为x?0的直线也满足题意.

∴所求直线l的方程为3x?4y?20?0或x?0.

-------8分

222方法二 当所求直线l的斜率存在时，设所求直线的方程为y?kx?5,即kx?y?5?0.---4分

??y?kx?5联立直线与圆C的方程:?2, -----------5分 2?x?y?4x?12y?24?0?消去y得(1?k)x?(4?2k)x?11?0 设方程①的两根为x1,x2,

2k?4?x?x?12??1?k2由根与系数的关系得?

?xx??1112?1?k2?22①

②

由弦长公式得1?k2|x1-x2|=(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]=43 ③ 将②式代入③，并解得k?3， 4

此时直线l的方程为3x?4y?20?0. -----------------7分

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x?0， 仿方法一验算得方程为x?0的直线也满足题意. ∴所求直线l的方程为3x?4y?20?0或x?0.

-------8分

（Ⅲ）方法一：假设存在直线l?满足题设条件，设l?的方程为y?x?m,

则EF的中点N是两直线y?x?m与y?6??(x?2)的交点,即N??4?mm?4?,?,-------10分 2??2

m?84?mm?422?2)?(?6)?∴|CN|?(. 222∵以EF为直径的圆经过原点， ∴OE?OF， ∴|EN|?|ON|?(4?m2m?42)?()， -------11分 22222又∵CN?EF，|CE|?|CN|?|EN|， ∴(m?824?m2m?42)?16，化简得m2?8m?20?0， )?()?(2222 ∵方程m?8m?20?0没有实数解，

∴不存在满足题设条件的直线l?. -------13分

方法二： 假设存在直线l?满足题设条件，并设l?的方程为y?x?m，点E(x3,y3)，点F(x4,y4),

?y?x?m联立直线与圆C的方程?2, -----9分 2x?y?4x?12y?24?0?消去y得2x?2(m?4)x?m?12m?24?0

22?x3?x4?4?m?由根与系数的关系得?m2?12m?24

?x3x4??2∵以EF为直径的圆经过原点， ∴OE?OF.

④ -------10分

若E、F中有一点在y轴上，则另一点必在x轴上，而在圆C的方程中令y?0可得x无实数解，故本情况不会出现. --------11分

∴

y3?0y4?0???1即x3x4?y3y4?0， x3?0x4?0∴x3x4?(x3?m)(x4?m)?0，

化简得: 2x3x4?(x3?x4)m?m?0， -------12分 以④代入并化简得m?8m?24?0 ∵方程m?8m?24?0没有实数解，

∴不存在满足题设条件的直线l?. -------13分

222