2019-2020学年高中数学新教材必修一第2章：不等式及其性质

ππππ

C [∵－2＜α＜2，∴－π＜2α＜π.∵－2＜β＜2，

ππ3π3πππ3π∴－2＜－β＜2，∴－2＜2α－β＜2.又α－β＜0，α＜2，∴2α－β＜2.故－2π＜2α－β＜2.]

3．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________． 15

[3,8] [∵z＝－2(x＋y)＋2(x－y)， 11515

－2≤－2(x＋y)≤2，5≤2(x－y)≤2， 15

∴3≤－2(x＋y)＋2(x－y)≤8， ∴3≤z≤8.]

4．设a，b为正实数，有下列命题： ①若a2－b2＝1，则a－b<1； 11

②若b－a＝1，则a－b<1； ③若|a－b|＝1，则|a－b|<1； ④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.

其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)

1

①④ [对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1?a－b＝?a－b>0

a＋b?a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．

3

对于②，取特殊值，a＝3，b＝4，则a－b>1. 对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1. 对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0， ∴a≠b，不妨设a>b>0.

1

≥1?a＋b≤1≤a－b，这与a＋a＋b

5

∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0， ∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2. 即a3－b3>(a－b)3>0， ∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0， ∴0

即|a－b|<1.因此④正确．]

5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件： (1)该函数图像过原点；

(2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2； (3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4. 求当x＝－2时，y的取值范围．

[解] ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图像过原点， ∴c＝0， ∴y＝ax2＋bx.

又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2.① 当x＝1时，3≤a＋b≤4，② ∴当x＝－2时，y＝4a－2b. 设存在实数m，n，使得 4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)， 而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b， ??m＋n＝4，∴?解得m＝1，n＝3， ??m－n＝－2，∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．

由①②可知3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，

6

∴3＋3≤4a－2b≤4＋6. 即6≤4a－2b≤10，

故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.

7