(最新)2019年高考数学二轮复习 专题突破练8 利用导数证明问题及讨论零点个数 理

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又x≥ln x+1,即ln x+1,当x=1时,等号成立.

2.解 (1)f'(x)=(x>0),当a<0时,f'(x)>0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上递增;当a>0时,由f'(x)>0,得x>,由f'(x)<0,得0

当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为 (2)∵x时,函数g(x)=(ln x-1)e+x-m的零点, 即方程(ln x-1)e+x=m的根. 令h(x)=(ln x-1)e+x,h'(x)=e+1.

由(1)知当a=1时,f(x)=ln x+-1在递减,在[1,e]上递增,

xxxx∴f(x)≥f(1)=0.

+ln x-1≥0在x上恒成立.∴h'(x)=ex+1≥0+1>0,∴h(x)=(ln x-1)ex+x在x上单调递增.∴h(x)min=h=-2,h(x)max=e.所以当m<-2或m>e时,没有零点,当-2m≤e时有一个零点. 3.解 (1)略;

(2)①∵F(x)=x-aln x-(a-2)x,

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∴F'(x)=2x-(a-2)-(x>0).因为函数F(x)有两个零点,所以a>0,此时函数F(x)在单调递减,在单调递增.

所以F(x)的最小值F<0, 即-a+4a-4aln<0.

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∵a>0,∴a+4ln-4>0.

令h(a)=a+4ln-4,显然h(a)在(0,+∞)上为增函数,且h(2)=-2<0,h(3)=4ln-1=ln-1>0, 所以存在a0∈(2,3),h(a0)=0.

当a>a0时,h(a)>0,所以满足条件的最小正整数a=3.

②证明:不妨设0

∵F'=0,∴当x时,F'(x)<0,当x时,F'(x)>0,故只要证即可,

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即证x1+x2>,

即证+(x1+x2)(ln x1-ln x2)<+2x1--2x2, 也就是证ln 设t=(0

因为t>0,所以m'(t)≥0,当且仅当t=1时,m'(t)=0,所以m(t)在(0,+∞)上是增函数. 又m(1)=0,所以当t∈(0,1),m(t)<0总成立,所以原题得证. 4.解 (1)略;

(2)f'(x)=(x>0),令p(x)=x+(2-a)x+1,

由f(x)在(0,+∞)有两个极值点x1,x2,则方程p(x)=0在(0,+∞)有两个实根x1,x2,得a>4.∴f(x1)+f(x2)

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=ln x1-+ln x2-=ln x1x2-=-a, f=f=ln=ln-(a-2). ∴f=ln-a-2+=ln+2.

设h(a)=ln+2(a>4),

则h'(a)=<0,∴h(a)在(4,+∞)上为减函数,又h(4)=0,∴h(a)<0,∴f 5.(1)解 f'(x)=(x-1)e+2a·(x-1)=(x-1)(e+2a).

(ⅰ)若a=0,则f(x)=(x-2)e,f(x)只有一个零点.

(ⅱ)若a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0, 所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.

又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b(b-2)+a(b-1)=a>0, 故f(x)存在两个零点.

(ⅲ)若a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0, 教育1

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因此f(x)在(1,+∞)内单调递增.

又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 若a<-,则ln(-2a)>1,

故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0; 当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.

因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增. 又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 综上,a的取值范围为(0,+∞).

(2)证明 不妨设x1

所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.

由于f(2-x2)=-x2+a(x2-1),而f(x2)=(x2-2)+a(x2-1)=0,所以f(2-x2)=-x2-(x2-2)设g(x)=-xe-(x-2)e, 则g'(x)=(x-1)(e-e).

所以当x>1时,g'(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2. 6.解 (1)F'(x)=(x>0).

当m≤0时,F'(x)<0,函数F(x)在(0,+∞)上单调递减; 当m>0时,令F'(x)<0,得x<,函数F(x)在上单调递减; 令F'(x)>0,得x>,函数F(x)在上单调递增;

综上所述,当m≤0时,函数F(x)在(0,+∞)上单调递减; 当m>0时,函数F(x)在上单调递减,在上单调递增.

(2)原命题等价于曲线y=f(x+1)与曲线y=是否相同的外公切线.

函数f(x+1)=mln(x+1)在点(x1,mln(x1+1))处的切线方程为y-mln(x1+1)=(x-x1), 即y=x+mln(x1+1)-,

曲线y=在点处的切线方程为y-(x-x2),即y=x+ 教育1

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曲线y=f(x+1)与y=的图象有且仅有一条外公切线,所以 有唯一一对(x1,x2)满足这个方程组,且m>0,

由①得x1+1=m(x2+1),代入②消去x1,整理得2mln(x2+1)++mln m-m-1=0, 关于x2(x2>-1)的方程有唯一解.

令g(x)=2mln(x+1)++mln m-m-1(x>-1),∴g'(x)=当m>0时,g(x)在上单调递减,在上单调递增;

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∴g(x)min=g=m-mln m-1.因为x→+∞,g(x)→+∞;x→-1,g(x)→+∞,只需m-mln m-1=0.

令h(m)=m-mln m-1,h'(m)=-ln m在(0,+∞)上为单调递减函数,

且m=1时,h'(m)=0,即h(m)max=h(1)=0,所以m=1时,关于x2的方程2mln(x2+1)++mln m-m-1=0有唯一解,此时x1=x2=0,外公切线的方程为y=x.∴这两条曲线存在相同的紧邻直线,此时m=1.

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