2009年数学全真模拟试题

模拟试题（七）

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 （4）设常数??0，则级数

?n?2?(?1)n ?n(lnn)（A）绝对收敛. （B）条件收敛.

（C）发散. （D）敛散性与?的取值有关.

T（5）设n维列向量a?(,0?,0,)，矩阵A?E?4aa，其中E是n阶单位矩阵，若n1212T维列向量??(1,1,?,1)T，则向量A?的长度为

（A）n. （B）n. （C）n. （D）

21. n（7）设随机试验成功的概率p?20%，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率a?(?(1)?0.8413,?(3)?0.9987)

（A）0.032. （B）0.1574. （C）0.16. （D）0.84

（8）设总体X服从正态分布N(0,?)，X1,X1,?,Xn是取自总体X的简单随机样本.

2X,S2分别是该样本均值与方差.若统计量F?F(1,n?1)，则

(n?1)XnX（A）F?. （B）. F?S2S2（C）F?22(n?1)XX. （D）. F?22SS22二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。 （12）微分方程(2x?y)dx?xdy满足条件y(2)?1的特解是 .

（14）一个坛子内装有20只红球与80只白球，从中一次随机摸出5只球，X表示摸出的

2白球数目，则EX? ，EX? .

三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本题满分10分）

某种电烤用具的需求函数p(Q)?35?0.05Q.如果需要160000件这样的用具，则价格的上涨会导致增加收入还是减少收入？若需要250000件电烤具，价格的上涨又会怎样？ （18）（本题满分10分）

计算二重积分

I???Dy(1?x?y)x?y2222d?，其中

D?{(x,y)|y?0,1?x2?y2?2x}.

（20）（本题满分11分）

2???10??n已知矩阵A?a1a?2有三个线性无关的特征向量，求a的值，并求A.

???4???30?（21）（本题满分11分）

设a1,a2,?1,?2都是3维向量，且a1,a2线性无关，?1,?2线性无关.

（Ⅰ）证明：存在非零向量?，使得?既可由a1,a2线性表出，又可由?1,?2线性表出；

?1??2??2???1?????????（Ⅱ）当a1?2，a2?5，?1?3，?2?0时，求出所有既可由a1,a2线?????????????1???3????1???3??性表出，又可由?1,?2线性表出的向量.

（22）（本题满分11分）

甲袋中有2个白球，乙袋中有2个黑球，每次从各袋中都随机地摸取1个球，交换后分别放入另一个袋中，共交换i次，Xi表示经i次交换后甲袋中白球个数，i?1,2,3.

（Ⅰ）求X3的概率分布；

（Ⅱ）求(X2,X3)的联合概率分布； （Ⅲ）判断X2与X3是否相关.

模拟试题（十）

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 （1） （2） （3）

（4）设偶函数f(x)的二阶导数f??(x)在x?0的某一个邻域内连续，且

?1?f(0)?1,f??(0)?2，则级数??f()?1?

n?n?1?（A）发散. （B）绝对收敛.

?

（C）条件收敛. （D）的敛散性不能由题设条件确定.

（5）设3元二次型f(x1,x2,x3)?xTAx的负惯性指数q?1，且二次型矩阵A满足

A2?A?6E?0，则二次型xTAx在正交变换下的标准形是

222222（A）2y1. （B）3y1. ?2y2?3y3?3y2?2y322222（C）y1. （D）3y1. ?y2?y3?2y3（6）设A是3阶矩阵，则对任何x?(x1,x2,x3)T恒有xAx?0充分必要条件是

（A）|A|?0. （B）A??A. （C）A?0. （D）A?A.

（7）在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次.设事件A?“考核合格”， B?“最多中靶一次”， C?“射击三次”，设学员中靶率为

T2Tp(0?p?1)，则

（A）AB与C独立. （B）BC与A独立.

（C）AC与B独立. （D）A、B、C相互独立.

（8）已知总体X服从参数为?的泊松分布，X1,?,Xn是取自总体X的简单随机样本，

???，则a? ??aX?(2?3a)S2是?的一个估计，如果E?其均值为X，方差为S，记?2（A）

13. （B）1. （C）. （D）2. 22二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。 （9）设函数

f(x)具有二阶连续导数，且

f?(x0)?1，则

??11lim??? . ?x?x0f(x)?f(x)f?(x)?(x?x0)?0?（10）函数f(x)?（11） （12）（13）

（14）假设市场上出售的某种商品，每日价格的变化是一个随机变量，如果用Yn表示第n天商品的价格，则有Yn?Yn?1?Xn(n?1)，其中Y0为初始价格，X1,?,Xn?为独立同分布随机变量，EXn?0,DXn?1.假设该商品初始价格为a元，则根据独立同分布中心极限定理，10周后（即在第71天）该商品价格在(a?10)与(a?10)（单位：元）之间的概率a? .（已知?(1.2)?0.8849.）

????(t?xsint)1dt的最小值点是x? .

三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分）

确定常数A的取值范围，使得函数f(x)?x?（17）（本题满分10分） （18）（本题满分10分）

计算二重积分

22D，其中是由曲线与y(4?x?y)d?y?2x?x,y?4?x??D23222A?6对任何x?0成立. 4x轴围的平面区域. （19）（本题满分10分） （20）（本题满分10分）

?122???设A*B(A*)?1?A?2BA，其中A*是A的伴随矩阵，若A?012， ????001??（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）判断矩阵B是否和对角矩阵相似，并说明理由. （21）（本题满分12分）

设n阶实对称矩阵A满足A?E，且秩r(A?E)?k?n. （Ⅰ）求二次型xAx的规范形；

（Ⅱ）证明B?E?A?A?A?A是正定矩阵，并求行列式|B|的值. （22）（本题满分11分）

设随机变量X和Y的联合概率分布为

Y -1 X -1 0 1 p.j （Ⅰ）判断X与Y是否独立； （Ⅱ）判断X和Y是否独立；

222（Ⅲ）计算cov(X,X?Y)与cov(X,X?Y).

22342T0 0.16 0.20 0.14 0.50 1 0.90 0.12 0.08 0.30 p.i 0.30 0.40 0.30 0.05 0.08 0.07 0.20 2（23）（本题满分11分）

设随机变量X1与X2相互独立，且X1~N(0,1)，X2服从??（Ⅰ）X?X1的概率密度；

21的指数分布，试求：2

（Ⅱ）Y?X?X2的概率密度； （Ⅲ）EY与DY.