《计算方法》复习题-1

第一章 绪 论 ．1 ．

第一章 绪 论

复习题

例1计算a?(2?1)6，取2?1.4，采用下列算式计算： （1）

1(2?1)6；

（2）99?702； （3）(3?22)3； （4）

1(3?22)3。

问哪一个得到的结果最好？

解 显然

a?(2?1)?6(2?1)6(2?1)6(2?1)6?1(2?1)6

(2?1)6?[(2?1)2]3?(3?22)3?99?702 (2?1)6?1(2?1)6?1[(2?1)]23?1(3?22)3

所以(1)?(2)?(3)?(4)，这4个算式是恒等的，但当取2?1.4计算时，因为（2），（3）都涉及到两个相近数相减，使有效数字丢失，而（1）在分母算式上的乘幂数比算式（4）大，所以算式（4）最好。事实上，当取2?1.4时，有?x?0.015，再由f(x)的误差

|f(x??x)?f(x)|?|f'(1.4)||?x|也可直接估计出每个算式的误差，显然，算式（4）误

差最小。

具体计算可得： （1）

1(2?1)6?5.2?10?3；

．2 ． 实用数值分析解题指导

（2）99?702?1.0； （3）(3?22)3?8.0?10?3； （4）

1(3?22)3?5.1?10?3。

比较可得用第（4）个算式所得的结果更接近于a。

例1.8 建立积分In??解 由

10xndxn?0,1,?,20的递推关系式，并研究它的误差传递。 x?51xn?5xn?11??dx??xn?1dx? 005?xn1In?5In?1和

I0??可建立下列递推公式

1dx?ln6?ln50x?51

?I0?ln6?ln5??1I??5In?1n?n?(n?1,2,?,20) (*)

计算出I0后，由递推关系式可逐次求出I1,I2,?,I20的值。但在计算I0时有舍入误差，因

*此在使用递推关系式中，实际算出的都是近似值In(n?1,2,?,20)。即

?I0*?I0?e0??*1*?In??5In?1n?现在来研究误差是如何传递的。

*(n?1,2,?,20)

设I0有误差e0，假设计算过程中不产生新的舍入误差，则由(*)式可得

**en?In?In??5In?1?5In(n?1,2,?) ?1??5en?1从而有

en?(?5)ne0

第一章 绪 论 ．3 ．

即原始数据I0的误差e0对第n步的影响使该误差扩大了5倍。当n较大时，误差将淹没真值，因此递推公式(*)是数值不稳定的。

现在从另一方向使用这一公式

*n1?1?In?1???In?(n?20,19,?,1) (**)

5?n?****只要给出I20的一个近似值I20，即可递推得到I19，类似于上面的推导可得 ,I18,?,I0en?1每递推一步误差缩小到原值的

由于x?[0,1]时，

1?1???en,e0????en

5?5?n1，所以递推公式(**)是数值稳定的。 5xnxnxn?? 65?x5所以有估计式

11?In?

6(n?1)5(n?1)于是

11?I20? 6?215?21取

11? I20?126105?0.00873015872?I20?0.0087301587?可得另一算法：? 11I?(?I)(n?20,19,?,1)n?1n?5n?由此可见，对于同一数学问题，使用的算法不同，效率也大不相同，只有选用数值稳定性好的算法，才能求得较准确的结果。

．4 ． 实用数值分析解题指导

基于Mathematica的数值计算实例

例1 计算e,?有n(n?1,2,...,10)位有效数字的近似值，并列表。 解 Mathematica程序：

Table[{N[E,n],N[Pi,n]},{n,1,10}]; TableForm[%]

运行结果：

3. 3. 2.7 3.1 2.72 3.14 2.718 3.142 2.7183 3.1416 2.71828 3.14159 2.718282 3.141593 2.7182818 3.1415927 2.71828183 3.14159265 2.718281828 3.141592654

例2 用程序计算1500,解 Mathematica程序：

612有n(n?10,11,?,15)位有效数字的近似值。

Table[{N[Sqrt[1500],n],N[12^(1/6),n]},{n,10,15}]; TableForm[%]

运行结果：

38.72983346 1.513085749 38.729833462 1.5130857494 38.7298334621 1.51308574942 38.72983346207 1.513085749423 38.729833462074 1.5130857494229 38.7298334620742 1.5130857494229

例3 计算cos75.5,arctan34.7,log579的近似值。 解 Mathematica程序：

{Cos[75.5 Degree],ArcTan[34.7 Degree],Log[5,79]}//N; TableForm[%]

运行结果：

0.25038 0.544548 2.71489

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