大象群落的稳定发展数模

封一

答卷编号（竞赛组委会填写）：

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论文题目 大象群落的稳定发展

参赛队员：

1. 黄立敬 电话： 2. 陈光 电话： 3. 陈灵 电话：

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大象群落的稳定发展

摘要

本文根据非洲某国的国家公园近两年内从公园运出的大象的大致年龄和性别的统计情况，探讨大象的合理的存活率并推测当前的年龄结构，针对不同情况给出如何进行避孕注射以达到控制大象数量的目的。

首先，充分利用给出的近两年来运出的大象的数量与性别统计表，分析近两年来的大象群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得到年龄在2岁到60岁之间的大象的总数，并且求出了存活率为：98.9718%；因为假设公园内2岁到60岁之间的大象占总大象的比例等于运出的2岁到60岁之间的大象占总移出大象的比例，所以通过一些比例之间的关系得到这个大象群落的当前的年龄结构（见表1）。

然后，建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型，运用第一问求出的各年龄段大象的存活率以及繁殖率，求解当前大象群落对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射该大象种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程VI，求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到要使种群保持稳定繁殖率的取值；根据需要避孕掉母象所生的幼象的数目等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这一条件建立一个方程，最后求得每年注射避孕药的母象头数为：1393（头）。

最后，假设被转移的大象只考虑处于1—60岁之间，这样可以认为转移后的大象看成每年多死了这么多头大象，即意味着死亡率将增加，存活率将减少；仍然按照解决第二问的模型，只需将此时不同的各年龄段大象的存活率代入那个以繁殖率为未知数的方程（方程VI），求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定。考虑到求解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移出大象后所需要进行避孕的母象头数（见表2），为了检验计算机模拟的正确性，用理论去验证。模拟的思路方法见计算机模拟流程图—图2。

关键字：线性方程组、差分方程模型、Leslie矩阵、计算机模拟

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问题重述

位于非洲某国的国家公园中栖息着近11000头大象。管理者要求有一个健康稳定的环境以便维持这个11000头大象的稳定群落。管理者逐年统计了大象的数量，发现在过去的20年中，整个大象群经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在11000头的数量，而其中每年大约有近600头到800头是被转移的。由于近年来，偷猎被禁止，而且每年要转移这些大象也比较困难，现决定采取避孕注射法以维持大象数量的平衡。我们已知此公园近两年内从这个地区运出的大象的大致年龄和性别的统计。根据这些信息我们需要解决以下问题：

1. 探讨年龄在2岁到60岁之间的象的合理的存活率的模型，推测这个大象群

落的当前的年龄结构。

2. 估计每年有多少母象要注射避孕药，可以使象群固定在11000头左右。这里

不免有些不确定性，是否能估计这种不确定性的影响。

3. 假如每年转移50至300头象到别处，那么上面的避孕措施将可以有怎样的

改变？

问题假设

1、假设大象的性别比近似认为1：1，并且采用措施维持这个性别比；

2、假设母象可以怀孕的年龄为11岁—60岁、最高年龄为70岁，70岁的死亡率为100%，并且61—70岁的大熊的头数呈线性递减；

3、假设大象在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；

4、假设被转移的大象只考虑处于1—60岁之间，转移后的大象看成每年多死了这么多头大象；

5、假设0岁大象能够活到1岁的比例为75%；

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符号说明

Xi ： 表示一年中大象的头数（i=0表示0岁大象的头数，i=1表示1--60岁大

象头数，i=2表示61—70岁大象的头数）；

pi： 表示存活率（p0表示0岁大象的存活率，p1表示1—60岁大象的存活率，

； p2表示61岁—70岁大象的存活率）

xi(k)： 表示时段k第i年龄组的大象数量；

bi ： 第i年龄组每个（母象）个体在1个时段内平均繁殖的数量；

si ： 第i年龄组的存活率；

L ： Leslie矩阵；

?1 ： L矩阵的那个唯一正特征根；

n ： 表示移出大象的头数；

问题分析

对于问题一，利用给出的近两年来运出的大象的数量与性别统计表，可以分析近两年来的大象群落的情况，比如移出的各个年龄段的大象占移出的总的大象的头数的比例是多少，还可以根据两年移出大象后大象总数都是11000来建立方程，用于求解存活率。

对于问题二，因为考虑的是公园在未来很长一段时间的大象种群控制问题，所以可以建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型，根据差分方程的 Leslie矩阵的特征根，结合 Leslie矩阵的稳定性理论对当前大象种群的情况进行分析。为了保持大象种群的稳定，必须使得Leslie矩阵的最大特征根为1，而这样，特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程特征方程，求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到要使种群保持稳定繁殖率的取值；根据需要避孕掉母象所生的幼象的数目等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这一条件建立方程来求解应该对多少头母象进行避孕。

对于问题三，由于假设被转移的大象只考虑处于1—60岁之间，故可以认为转移后的大象看成每年多死了这么多头大象，即意味着死亡率将增加，存活率将减少。按照解决第二问的模型，只需将此时不同的各年龄段大象的存活率代替原来的存活率，就可以求出此时应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定。为了方便，可用采用计算机模拟的方法来确定移出的大象在哪个年龄段，考虑到计算机模拟的不确定性，可以对模拟结果进行检验。

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