六年级数学竞赛上册奥数高思第17讲数论综合与简单代数式（彩色） - 图文

数论综合与简单代数式

课 本

乘方奇妙数

153 是一个在乘方运算下具有奇妙性质的三位数．把它的每一位数字都作 3 次方， 再把所得的结果相加，得到13 + 53 + 33 =1+125 + 27 =153 ．我们发现 153 恰好等于它的 各位数字的立方和！像这样，一个三位数恰好等于它的各位数字的立方和，我们就称它

为立方奇妙数．

对 于 四 位 数， 我 们 考 虑 各 位 数 字 的 四 次 方 和． 如 果 四 次 方 和 恰 等 于 自 然 数 本 身， 我 们 就 称 这 个 自 然 数 是 四 方 奇 妙 数． 例 如 1634 就 是 一 个 四 方 奇 妙 数： 1634 =14 + 64 + 34 + 44 =1634 ．

对于五位、六位、七位、八位和九位数的情形，也都发现了类似的奇妙数：

54748，548834，1741725，24678051，146511208．

奇妙数还有很多，有兴趣的同学可以试着找出所有三位的奇妙数．

例题 3

有一个算式 9×8× 7× 6×5× 4×3× 2×1 ，墨莫在上式中把

一些“× ”换成“ ÷ ”，计算结果还是自然数．那么这个自然数最小是多少？ 分析 把乘以一个数变成除以这 数，计算结果相当于除去这个数的平方．

练 习

3. 有一个算式10×9×8× 7× 6×5× 4 ，小高在上式中把一些“× ”换成“ ÷ ”，计算结 果还是自然数．那么这个自然数最小是多少？

盈数、亏数与完全数

如果一个数等于其真因数之和，就是完全数或完美数；如果大于其真因数之和，它 就是亏数；如果小于其真因数之和，它就是盈数．

完全数：完全数又叫完美数，等于它的所有真因数之和．比如 6 的所有真因数是 1、2、 3，而且 6 =1+ 2 + 3 ，所以 6 是一个完美数．除此之外还有 28、496、8128、33550336 等 共 29 个（至今人类只发现了这么多），而且只发现了偶完美数．完美数有很多奇妙的性质， 我们列举两个如下：

完美数的性质 1：他们都可以写成连续的自然数的和．

身体健康

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身体健康

六 年 级 上册第 17 讲

例如：6 =1+ 2 + 3 ；28 =1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 ；496 =1+ 2 + 3 +性质 2：他们的全部因数的倒数和为 2．

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + = 2 ； + + + + + =

2 ． 例如：

1 2 3 6 1 2 4 7 14 28

+ 30 + 31；

欧几里得证明了“如果 2n ?1 是素数，那么

( )

2n?1 × 2n ?1 是完全数．”然后欧拉又证

明了所有偶完全数一定具有这样的形式．是否存在奇完全数，依然是数论中著名的未解 难题．假如有的话，那种数肯定不会少于 20 位．

盈数与亏数：从 10 到 100 间，只有 21 个盈数，都是偶数．但并非所有盈数都是偶数， 实际上，很容易证明 945 = 33 ×5× 7 是盈数，这是第一个，也是 1000 以内的唯一一个奇 盈数．

接着，我们复习约数个数的计算及约数的性质．

例题 4

有 2008 盏灯，分别对应编号为 1 至 2008 的 2008 个

开关．现在有编号为 1 至 2008 的 2008 个人来按动这些开关．已知第 1 个 人按的开关的编号是 1 的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第 2 个人按的开关的编号是 2 的倍 ，第 3 个人按的开关的编号是 3 的倍数，…… 依次做下去，第 2008 个人

开关的编号是 2008 的倍数．如果最开始的

时候，灯全是亮着的，那么这 2008 个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？ 分析 这 2008 个人按完后，什么编号的灯会亮着？什么编号的灯会暗着？

练 习

4. 1 到 100 中，约数个数是 5 的倍数的自然数有多少个？

例题 5

身体健康

一个合数，其最大的两个约数之和为 1164．求所有满足要

求的合数．

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身体健康