最值综合题(几何)-全国各地2019年中考数学压轴题几何大题题型分类汇编(解析版)

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∴CH，EHHCEC

∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90° ∴△BGD∽△BHE ∴ ∴ ∴EC1

∴AE＝AC﹣EC＝7

8.（2019?南通）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点． （1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形； （2）当△PEF的周长最小时，求的值；

（3）连接BP交EF于点M，当∠EMP＝45°时，求CP的长．

证明：（1）如图：连接AF，CE，AC交EF于点O

∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC

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∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO， ∵点A与点C关于EF所在的直线对称 ∴AO＝CO，AC⊥EF

∵∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，AO＝CO ∴△AEO≌△CFO（AAS） ∴AE＝CF，且AE∥CF

∴四边形AFCE是平行四边形，且AC⊥EF ∴四边形AFCE是菱形；

（2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△EFP的周长最小，

∵四边形AFCE是菱形 ∴AF＝CF＝CE＝AE， ∵AF2＝BF2+AB2， ∴AF2＝（4﹣AF）2+4， ∴AF ∴AECF ∴DE

∵点F，点H关于CD对称

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∴CF＝CH ∵AD∥BC ∴

（3）如图，延长EF，延长AB交于点N，过点E作EH⊥BC于H，交BP于点G，过点B作BO⊥FN于点O，

由（2）可知，AE＝CF，BF＝DE ∵EH⊥BC，∠A＝∠ABC＝90° ∴四边形ABHE是矩形 ∴AB＝EH＝2，BH＝AE ∴FH＝1 ∴EF， ∵AD∥BC ∴△BFN∽△AEN ∴ ∴

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∴BN＝3，NF ∴AN＝5，NE

∵∠N＝∠N，∠BON＝∠A＝90° ∴△NBO∽△NEA ∴ ∴ ∴BO，NO

∵∠EMP＝∠BMO＝45°，BO⊥EN ∴∠OBM＝∠BMO＝45° ∴BO＝MO

∴ME＝EN﹣NO﹣MO ∵AB∥EH ∴△BNM∽△GEM ∴ ∴ ∴EG

∴GH＝EH﹣EG ∵EH∥CD ∴△BGH∽△BPC ∴ ∴

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