最值综合题(几何)-全国各地2019年中考数学压轴题几何大题题型分类汇编(解析版)

.

∵∠MPE＝∠FPH＝60°， ∴PH＝2m，FH＝2∴＝

＝

＝

m，DH＝10m， ．

②如图3中，当点N与C重合，作EH⊥MN于H．则PH＝m，HE＝m，

∴HC＝PH+PC＝13m，

∴tan∠HCE＝＝＝，

∵ME∥FC，

∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD， ∵∠B＝∠D， ∴△MEB∽△CFD， ∴

＝

＝2，

∴＝＝＝，

综上所述，a：b的值为或．

3.（2019?益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；

'.

.

（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；

（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．

解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，

∵矩形ABCD中，CD⊥AD， ∴∠CDE+∠ADO＝90°， 又∵∠OAD+∠ADO＝90°， ∴∠CDE＝∠OAD＝30°，

∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝

＝2

，

在Rt△OAD中，∠OAD＝30°， ∴OD＝AD＝3，

∴点C的坐标为（2，3+2

'.

）；

.

（2）∵M为AD的中点， ∴DM＝3，S△DCM＝6， 又S四边形OMCD＝

，

∴S△ODM＝，

∴S△OAD＝9，

设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，xy＝9，

∴x2+y2＝2xy，即x＝y，

将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18， 解得x＝3∴OA＝3

（负值舍去）， ；

（3）OC的最大值为8， 如图2，M为AD的中点，

∴OM＝3，CM＝

＝5，

∴OC≤OM+CM＝8，

当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，

连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，

'.

.

∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN， ∴△CMD∽△OMN， ∴

＝

＝

，即

＝

＝，

解得MN＝，ON＝，

∴AN＝AM﹣MN＝，

在Rt△OAN中，OA＝＝，

∴cos∠OAD＝＝．

4.（2019?淮安）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．

小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧． 请你帮助小明继续探究，并解答下列问题： （1）当点E在直线AD上时，如图②所示． ①∠BEP＝ 50 °；

②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 EC∥AB ．

（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．

（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．

'.