九年级数学第1讲：相似形与比例线段 - 教师版

【例26】已知有三条线段的长分别为3cm，6cm，9cm的线段，请再添一条线段，使这四

条线段成比例，求所添线段的长度．

【难度】★★

【答案】18cm或4.5cm或2cm．

【解析】设添加的线段长度为acm，将a当作一个比例外项，根据比例的基本性质有： （1）对应的外项是3cm时，a?6?9?3?18cm； （2）对应的外项是6cm时，a?3?9?6?4.5cm； （3）对应的外项是9cm时，a?6?3?9?2cm

【总结】考查比例的计算，在顺序不确定的情况下，必须进行分类讨论．

【例27】在?ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且

则

ADAEDE3???， ABACBC4厘米．

AE

? EC

，若?ADE的周长为90厘米，则?ABC的周长为 【难度】★★

【答案】（1）3；（2）120．

AE3AC4AE?EC4【解析】（1）由?，可得?，即?，

AC4AE3AE3故

EC1AE?，?3； AE3ECADAEDEAD?AE?DE3????， ABACBCAB?AC?BC4（2）根据比例的等比性，即

CVADE3?， CVABC4代入求得CVABC?120cm．

【总结】考查比例的合比性和等比性的综合应用．

13 / 22 【例28】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于点O． （1）图中有哪几对三角形的面积相等？为什么？

AODO（2）求证：． ?COBO【难度】★★

【答案】（1）SVABD?SVACD，SVABC?SVBCD，

SVABO?SVCDO，同底等高，减去公共部分面积相等；

（2）略．

【解析】（1）SVABD?SVACD，SVABC?SVBCD，同底等高，故SVABD?SVAOD?SVACD?SVAOD，

即SVABO?SVCDO；

（2）证明：QVAOD和VAOB同高，?同理

SVAODDO?． SVAOBBOSVAODAOAODO??，又SVABO?SVCDO，?． SVCODCOCOBO【总结】考查梯形中的面积相等，基本图形面积的计算，等高条件下面积之比等于其高之比．

【例29】如图，在?ABC中，BD?AC，垂足为D，E是BC边上的一点，EF?AC，

垂足为F，S?ABD:S四边形ABED?2:3，求AD:AF的值． 【难度】★★

【答案】AD:AF?2:3．

【解析】QS?ABD:S四边形ABED?2:3， ?SVADB:SVEDB?2:1．

又BD?AC，EF?AC，?BD//EF． ?SVBDF?SVEDB，?SVBDF:SVADB?1:2．

即?FD?BD?:?AD?BD??1:2， ?FD:AD?1:2．

?AD:?AD?FD??2:?2?1?，即AD:AF?2:3． 【总结】考查等高或同高三角形面积之比等于其底边之比．

14 / 22 【例30】已知线段AB的长度为l，点P在线段上，【难度】★★ 【答案】AP?PBAP，求线段AP的长． ?APAB5?1l． 2l?APAP5?1?，解得AP?l，P点是AB黄金分割点． APl2【解析】根据题意，即有

【总结】考查黄金分割点的定义．

【例31】（1）点P是线段AB的黄金分割点，AP?BP，AB?6厘米，求BP的长；

（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB?5?1，求AP的值． 【难度】★★

【答案】（1）BP?9?35cm；（2）AP?2或AP?5?1． 【解析】（1）根据黄金分割点定义，且AP?BP，可知AP???5?1AB，此时 2BP?3?53?5AB??6?9?35cm； 22??（2）线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为故AP?5?13?5和， 225?13?5AB?2或AP?AB?5?1． 22【总结】注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个．

【例32】如图，乐器上的一根弦AB?80厘米，两个端点A、B固定在乐器面板上，支撑点

C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求CD的长．

【难度】★★

【答案】805?160cm．

??

?5?1?3?55?11?AB?AB， ?【解析】根据黄金分割点定义，知AC?AB，故AD????222??

CD?AC?AD?5?13?5AB?AB?22?5?2AB，得CD?805?160cm．

???【总结】考查线段的黄金分割点有两个．

15 / 22 【例33】如图，在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知MN是BC和CM的比例中项，

CM?3?5，求AD的长．

【难度】★★ 【答案】2．

【解析】由MN2?BC?CM?BM2，

即BC?CM??BC?CM?，

可得CM?

23?5BC，代入即得AD?BC?2． 2【总结】考查黄金比的综合应用．

【例34】如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD．

在BA的延长线上取点F，使PF?PD．以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上． （1）求线段AM、DM的长； （2）求证：AM2?AD?DM； （3）请指出图中的黄金分割点． 【难度】★★★

【答案】（1）AM?5?1，DM?3?5；

（2）略；

（3）M是线段AD的黄金分割点，A是线段BF的黄金分割点

PD?AD2?AP2?5，【解析】（1）可知AP?1，根据勾股定理得：P是AB的中点，AB?2，

则PF?PD?5，AM?AF?PF?AP?5?1，DM?AD?AM?3?5； （2）证明：AM?2?5?1?6?25?2?3?5?AD?DM，即证；

?2??（3）根据定义可知M是线段AD的黄金分割点，类似的，我们可以得到AB2?BF?AF?4， 可知A是线段BF的黄金分割点．

【总结】考查黄金比的综合应用，黄金分割题目中容易出现别的黄金分割．

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