高中数学选修1-1全套导学案（新自编更新中）B5

北安管理局第一高中导学案 高中数学选修1-1

2、已知e1和e2是两个单位向量，夹角为 A.

e1?e2 B.

?，则下面向量中与2e2?e1垂直的是（ ） 3e1?e2 C. e1 D. e2

3、在?ABC中，设

AB?a，BC?b，CA?c，若a(a?b)?0，则?ABC（ ）

(A) 直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)无法判定

4、已知a和b是非零向量，且a?3b与7a?5b垂直，a?4b与7a?2b垂直，求a与b的夹角。 5、已知OA、OB、OC是非零的单位向量，且OA+OB+OC=0，求证：

?ABC

为正三角形。

3.1.5空间向量运算的坐标表示 向量的坐标 1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系 2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示 1．投影与投影定理 25分钟 2．分向量与向量的坐标 30分钟 3．模与方向余弦的坐标表示 35分钟 1．投影定理 2．分向量 3．方向余弦的坐标表示 启发式教学法，使用电子教案 课题 教学目的要求 主要内容与时间分配 重点难点 教学方法和手段 一、向量在轴上的投影 1．几个概念

(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数?满足??AB，且当ABAB的值，记做

AB与轴u反向时?是负的，那么数?AB，即??AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则AB??e

与轴u同向时?是正的，当

叫做轴u上有向线段

AC?AB?BC

(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作OA?a，OB?b，规定不

?超过?的?AOB称为向量a和b的夹角，记为(a,b)

(2) 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有

(4) 空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A叫做点A在轴u上的投影。

''设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A和B，AB在轴u上的投影：''那么轴u上的有向线段的值AB叫做向量AB在轴u上的投影，记做PrjuAB。

'(5) 向量

2．投影定理

性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角?的余弦：PrjuAB?ABcos?

性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即

Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2

性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即

Prju(?a)??Prja

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二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对

应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。

M1M2是以M1(x1,y1,z1)为起点、

M2(x2,y2,z2)为终点的向量，i、j、k分别表示 图

设a =

7－5

沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：

M1M2?(x2?x1)i + (y2?y1)j+(z2?z1)k

或 a = ax i + ayj + azk 上式称为向量a按基本单位向量的分解式。 有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为 a ＝ {ax，ay，az}。 上式叫做向量a的坐标表示式。

于是，起点为M1(x1,y1,z1)终点为M2(x2,y2,z2)的向量可以表示为

M1M2?{x2?x1,y2?y1,z2?z1}

特别地，点M(x,y,z)对于原点O的向径

OM?{x,y,z}

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az， 向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk.

2．向量运算的坐标表示 则

(1) 加法： ◆ 减法： ◆ 乘数： ◆ 或

设a?{ax,ay,az}，b?{bx,by,bz}即a?axi?ayj?azk，b?bxi?byj?bzk

a?b?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k

a?b?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k

?a?(?ax)i?(?ay)j?(?az)k

a?b?{ax?bx,ay?by,az?bz}

a?b?{ax?bx,ay?by,az?bz}

?a?{?ax,?ay,?az}

◆ 平行：若a≠0时，向量b//a相当于b也相当于向量的对应坐标成比例即

??a，即

{bx,by,bz}??{ax,ay,az}

bxbybz??axayaz三、向量的模与方向余弦的坐标表示式

设a?{ax,ay,az}，可以用它与三个坐标轴的夹角

?、?、?（均大于等于0，小于等于?）来表示它的方向，称?、?、?为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表

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示形式cos?、cos?、cos?称为方向余弦。 1． 模

22a?ax?ay?az2 图 7－6

2． 方向余弦

◆

?a?MMcos??acos?12?x?222由性质1知?ay?M1M2cos??acos?，当a?ax?ay?az?0时，有

?a?M1M2cos??acos???z?aax?cos??x?22a?ax?ay?az2?ayay? cos????222aax?ay?az??aaz?cos??z?222a?a?a?axyz?222任意向量的方向余弦有性质：cos??cos??cos??1

◆ 与非零向量a同方向的单位向量为：

a0?aa?1a{ax,ay,az}?{cos?,cos?,cos?}

3． 例子：已知两点M1(2,2,

向的单位向量。 解：M1M2＝{1-2，3-2，0-

2)、M2(1,3,0)，计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以及与M1M2同2}={-1，1，-2}

M1M2?(?1)2?12?(?2)2?2

112，cos??，cos???222?3?2???，??，??

343cos???设a为与M1M2同向的单位向量，由于a即得

0

0?{cos?,cos?,cos?}

112a0?{?,,?}

2223.2立体几何中的向量方法

空间距离

利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大

量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．

例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是

AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由

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此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．

解：如图，设CD∴

?4i，CB?4j，CG?2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．

由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．

BE?(2,0,0)，BF?(4,?2,0)，

BG?(0,?4,2)，GE?(2,4,?2)， EF?(2,?2,0)．

?平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，

使得BM?aBE?bBF?cBG(a?b?c?1)，

设BMBM?a(2,0,0)?b(4,?2,0)?c(0,?4,2)＝(2a+4b,－2b－4c,2c)． 由BM?平面EFG，得BM?GE，BM?EF，于是 BM?G?E0，BM?EF?0．

?(2a?4b,?2b?4c,2c)?(2,4,?2)?0?∴ ?(2a?4b,?2b?4c,2c)?(2,?2,0)?0

?a?b?c?1?∴

15?a??11?a?5c?0?7??整理得：?a?3b?2c?0，解得?b??．

11?a?b?c?1??3?c??11?226,)． ∴ BM＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝(,111111∴

211?2??2??6?|BM|??????????

11111111??????222故点B到平面EFG的距离为

211． 11说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．

A'B'C'D'的棱长为1，求直线DA'与AC的距离．

分析：设异面直线DA'、AC的公垂线是直线l，则线段AA'在直线l上的射影就是两异面直线的公垂

例2已知正方体ABCD－

线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．

解：如图，设B'A'则有

?i，B'C'?j，B'B?k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系B'－xyz，

A'(1,0,0)，D(1,1,1)，A(1,0,1)，C(0,1,1)．

DA'?(0,?1,?1)，AC?(?1,1,0)，A'A?(0,0,1)．

222设n?(x,y,z)是直线l方向上的单位向量，则x?y?z?1．

∴ ∵ n?DA'，n?AC，

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