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北京市西城区2014-2015学年度高三第一学期期末试文科数学(含答案)

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所以 m?8. ??????5分 (Ⅱ)解:若直线l的斜率不存在,则有 S1?S2,不合题意. ??????6分

若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y?k(x?2),M(x1,y1),N(x2,y2).

?x2y2??1, 由 ??1612??y?k(x?2),得 (4k2?3)x2?16k2x?16k2?48?0, ?????? 7分

16k2?4816k2 可知 ??0恒成立,且 x1?x2?2,x1x2?. ?????? 8分 24k?34k?311 因为?PMF和?PNF的面积分别为S1?|PF|?|y1|,S2?|PF|?|y2|,

22 所以

S1|y1|y???1?2. ?????? 9分 S2|y2|y2 即 y1??2y2.

2 所以 y1?y2??y2,y1y2??2y2??2(y1?y2)2, ?????? 11分

则 k(x1?2)?k(x2?2)??2[k(x1?2)?k(x2?2)]2, 即 x1x2?2(x1?x2)?4??2(x1?x2?4)2,

16k2?4816k216k2 即 ?2?2?4??2(2?4)2, 24k?34k?34k?35 解得 k??. ?????? 13分

255 所以直线l的方程为 y?(x?2) 或 y??(x?2). ?????? 14分

22 20.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解:结论:当a??1,b?0时,函数f(x)和g(x)不相切. ???????1分 理由如下:

由条件知f(x)??x2, 由g(x)?lnx,得x?0,

又因为 f?(x)??2x,g?(x)?1, ???????2分 x 所以当x?0时,f?(x)??2x?0,g?(x)?1?0,

x 所以对于任意的x?0,f?(x)?g?(x).

当a??1,b?0时,函数f(x)和g(x)不相切. ???????3分 (Ⅱ)解:若a?b,则f?(x)?2ax?a,g?(x)?设切点坐标为(s,t) ,其中s?0,

由题意,得 as2?as?lns, ① 2as?a? 由②,得 a?1, x1, ② ???????4分 s1,

s(2s?1)s?1 代入①,得 ?lns. (*) ???????5分

2s?11?0,且s?0, 因为 a?s(2s?1) 所以 s?1. 2x?11?lnx,x?(,??), 2x?12?(4x?1)(x?1) 则 F?(x)?. ???????6分 2x(2x?1)1 令F?(x)?0 ,解得x?1或x?(舍). ???????7分

4 设函数 F(x)? 当x变化时,F?(x)与F(x)的变化情况如下表所示,

x F?(x) 1(,1) 21 0 (1,??) ? ↗ ? ↘ F(x) ???????8分

1 所以当x?1时,F(x)取到最大值F(1)?0,且当x?(,1)(1,??)时F(x)?0.

2 因此,当且仅当x?1时F(x)?0. 所以方程(*)有且仅有一解s?1. 于是 t?lns?0,

因此切点P的坐标为(1,0). ???????9分 (Ⅲ)解:当点P的坐标为(,?1)时,存在符合条件的函数f(x)和g(x),使得它们在点P 处相切; ???????11分

2 当点P的坐标为(e,2)时,不存在符合条件的函数f(x)和g(x),使得它们在点P处相

1e 切. ???????13分

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所以 m?8. ??????5分 (Ⅱ)解:若直线l的斜率不存在,则有 S1?S2,不合题意. ??????6分 若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y?k(x?2),M(x1,y1),N(x2,y2). ?x2y2??1, 由 ??1612??y?k(x?2),得 (4k2?3)x2?16k2x?16k2?48?0, ?????? 7分 16k2?4816k2 可知 ??0恒成立,且 x1?x2?2,x1x2?. ?????? 8分 24k?34k?311 因为?PMF和?PNF的面积分别为S1?|PF|?|y1|,S2?|PF|?|y2|,

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