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北京市西城区2014-2015学年度高三第一学期期末试
数学文
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求
的一项.
1.设集合A?{?1,0,1,2},B?{x|x2?x},则集合A(A){?1,0,1}
(B){?1,2}
B?( )
(D){?1,1,2}
(C){0,1,2}
2.设命题p:?x?0,2x?log2x,则?p为( ) (A)?x?0,2x?log2x (C)?x?0,2x?log2x
3.在锐角?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若a?2b,sinB?(B)?x?0,2x≤log2x (D)?x?0,2x≥log2x
3,则( ) 42 3(A)A?
? 3(B)A?? 6(C)sinA?3 3(D)sinA?4.执行如图所示的程序框图,输出的x值为( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7
y?10x?3 是 输出x 否 x=x+1 开始 a=2,x=3 y?ax
结束 5.设函数y?f(x)的定义域为R,则“f(0)?0”是“函数f(x)为奇函数”的( ) (A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
6. 某天,甲要去银行办理储蓄业务,已知银行的营业时间为9:00至17:00,设甲在当天
13:00至18:00之间任何时间去银行的可能性相同,那么甲去银行恰好能办理业务的概率是( ) (A) (B)
13354 (C) (D) 485
(B)|AB|=2d (D)|AB|<2d
7. 设抛物线W:y=4x的焦点为F,过F的直线与W相交于A,B两点,记点F到直线l:
x=-1的距离为d,则有( )
2 (A)|AB|≥2d (C)|AB|≤2d
8. 如图,在空间四边形ABCD中,两条对角线AC,BD互相垂直,且长度分别为4和6,平行于这两条对角线的平面与边AB,BC,CD,DA分别相交于点E,F,G,H,记四边形EFGH的面积为y,设 (A)函数y=f(x)的值域为(0,4] (B)函数y=f(x)的最大值为8
A H E B
D F
G BE则( ) =x,
AB2 (C)函数y=f(x)在(0,)上单调递减
3(D)函数y=f(x)满足f(x)=f(1-x)
C
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 复数z?
i,则|z|?______. 1?i10.设平面向量a,b满足|a|?3,|b|?2,a?b??3,那么a,b的夹角??____.
11.一个四棱锥的三视图如图所示,那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.
1 1 俯视图 2 1 1 正(主)视图
2 1 侧(左)视图
x2y212.设F1,F2为双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点,且直线y?2x为双曲线C的一条渐近
ab线,点P为C上一点,如果|PF1|?|PF2|?4,那么双曲线C的方程为____;离心率为_____.
13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品,已知签字笔每支5元,铅笔盒每个6元,花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择,购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个,那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.
14. 设函数f(x)???|x?a|, x≤1,?log3x, x?1.
(1)如果f(1)?3,那么实数a?___;
(2)如果函数y?f(x)?2有且仅有两个零点,那么实数a的取值范围是___.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)
已知函数f(x)?1?2sin2(x?π4),x∈R .
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期; (Ⅱ)判断函数f(x)在区间[?π6,π6]上是否为增函数?并说明理由.
16.(本小题满分13分)
已知数列{an}满足a2?5,且其前n项和Sn?pn2?n. (Ⅰ)求p的值和数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{bn}为等比数列,公比为p,且其前n项和Tn满足T5?S5,求b1的取值范围.
17.(本小题满分14分)
如图,在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,A1A?底面ABCD,?BAD?90,AD//BC,A1A?AD?2BC?2,AB?1. 点E在棱AB上,平面A1EC与棱C1D1相交于点F.
(Ⅰ)求证:A1F∥平面BCE1; A1 D1 (Ⅱ)求证: AC?平面CDD1C1;
B1 C1 F
(Ⅲ)写出三棱锥B1?A1EF体积的取值范围. (结论不要求证明)
A E D
B C 且
18.(本小题满分13分)
最近,张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案,且一年后投资盈亏的情况如下:
(1) 投资股市:
投资结果 概 率 (2) 购买基金:
投资结果 概 率 (Ⅰ)当p=获利 不赔不赚 亏损 获利 不赔不赚 亏损 1 21 83 8p 1 3q 1时,求q的值; 2(Ⅱ)已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小,求p的取值范围;
(Ⅲ)已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资,假设三种投资结果出现的可能性
相同,求一年后他们两人中至少有一人获利的概率. 19.(本小题满分14分)
x2y2?1的右焦点为F,((0),m4)? 已知椭圆C:?右顶点为A,离心率为e,点Pm1612(Ⅰ)求m的值;
满足条件
|FA|?e. |AP|(Ⅱ)设过点F的直线l与椭圆C相交于M,N两点,记?PMF和?PNF的面积分别为S1,S2,若
S1?2S2,求直线l的方程.
20.(本小题满分13分)
对于函数f(x),g(x),如果它们的图象有公共点P,且在点P处的切线相同,则称函数f(x)和g(x)在点P处相切,称点P为这两个函数的切点. 设函数f(x)?ax?bx(a?0),g(x)?lnx.
(Ⅰ)当a??1,b?0时, 判断函数f(x)和g(x)是否相切?并说明理由;
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