2019高考数学一本策略复习专题二三角函数、平面向量专题提能三角与向量的创新考法与学科素养课后训练文

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专题提能 三角与向量的创新考法与学科素养

一、选择题

1．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，

a·b＝－6，则|a×b|等于( )

A．－8 C．－8或8

B．8 D．6

3

解析：由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，可得2×5 cos θ＝－6?cos θ＝－.又θ∈

544

[0，π]，所以sin θ＝.从而|a×b|＝2×5×＝8.

55

答案：B

2．已知外接圆半径为R的△ABC的周长为(2＋3)R，则sin A＋sin B＋sin C＝( ) A．1＋

3

2

B．1＋

3 4

13C．＋ 221

D．＋3 2

解析：由正弦定理知a＋b＋c＝2R(sin A＋sin B＋sin C)＝(2＋3)R，所以sin A＋sin B＋sin C＝1＋答案：A

3．设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成．若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|，则a与b的夹角为( )

2π

A． 3πC． 6

πB．

3D．0

22

3

，故选A. 2

解析：设S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4，若S的表达式中有0个a·b，则S＝2a222＋2b，记为S1，若S的表达式中有2个a·b，则S＝a＋b＋2a·b，记为S2，若S的表达式中有4个a·b，则S＝4a·b，记为S3.又|b|＝2|a|，所以S1－S3＝2a＋2b－4a·b＝2(a－b)＞0，S1－S2＝a＋b－2a·b＝(a－b)＞0，S2－S3＝(a－b)＞0，所以S3＜S2＜S1，故

2

Smin＝S3＝4a·b，设a，b的夹角为θ，则Smin＝4a·b＝8|a|2cos θ＝4|a|，即cos θ＝，

2222222

1

2

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又θ∈[0，π]，所以θ＝

答案：B

π. 3

4．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90?，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，→→

则|PA＋PB|的最小值为( )

A．5 C．3

B．4 D．6

解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，→→→→

则PA＋3PB＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．所以|PA＋3PB|＝25＋3→→

(0≤y≤b)．当y＝b时，|PA＋3PB|min＝5.

4

b－4y2

答案：A 二、填空题

π

5．(2018·石家庄质检)非零向量m，n的夹角为，且满足|n|＝λ|m|(λ＞0)，向量

3组x1，x2，x3由一个m和两个n排列而成，向量组y1，y2，y3由两个m和一个n排列而成，若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3所有可能值中的最小值为4m，则λ＝________.

解析：由题意，x1·y1＋x2·y2＋x3·y3的运算结果有以下两种可能：①m＋m·n＋n＝

222

m2＋λ|m||m|cos＋λ2m2＝(λ2＋

π3λπ2

＋1)m；②m·n＋m·n＋m·n＝3λ|m|·|m|cos＝23

3λ2λ3λ133λ3λ

m.又λ2＋＋1－＝λ2－λ＋1＝(λ－)2＋＞0，所以m2＝4m2，即＝4，解22224228得λ＝.

3

8答案： 3

6．定义平面向量的一种运算a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a与b的夹角，给出下列命题：①若〈a，b〉＝90?，则a⊙b＝a＋b；②若|a|＝|b|，则(a＋b)⊙(a－b)＝4a·b；③若|a|＝|b|，则a⊙b≤2|a|；④若a＝(1,2)，b＝(－2,2)，则(a＋b)⊙b＝10.其中真命题的序号是________．

解析：①中，因为〈a，b〉＝90?，则a⊙b＝|a＋b|×|a－b|＝a＋b，所以①成立；②中，因为|a|＝|b|，所以〈(a＋b)，(a－b)〉＝90?，所以(a＋b)⊙(a－b)＝|2a|×|2b|309教育资源库 www.309edu.com

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