特征根法求解二次微分方程

特征根法求解二阶常系数线性微分方程

关于二阶常系数线性微分方程的解法： 1．线性齐次方程ay???by??cy?0的通解

解法 先解特征方程ar?br?c?0的根．设特征根为r1,2三种情况：

2?b?b2?4ac，分以下?2a1?b?b2?4ac，则2a2（1） 当b?4ac?0时，特征方程有两个相异的实根r1,2???方程的通解为

y?C1er1x?C2er2x．

2（2）当b?4ac?0时，特征方程有重根r??b，则方程的通解为 2ay??C1?C2x?erx．

（3）当b?4ac?0时，特征方程有一对共轭的复根

2r1,2???i???则方程的通解为 y?e?xbi?4ac?b2?， 2a2a?C1cos?x?C2sin?x?．

定理 若y1,y2为齐次方程ay???by??cy?0的两个解，则

y?C1y1?C2y2

亦是齐次方程的解，其中C1,C2是任意常数．又若y1,y2为线性无关时，则y?C1y1?C2y2是齐次方程的通解．

2．线性非齐次方程ay???by??cy?f(x)的通解

定理 设y是非齐次线性方程的一个特解，而y是相应的线性齐次方程的通解，则其和

*y?y?y*

为线性非齐次方程的通解．

具体解法：

*（1）先求ay???by??cy?f(x)的特解y

（2）再求对应线性齐次方程的通解y，根据定理相加即可y?y?y

*例题1用特征根法求微分方程y???4y??4y?0的通解 解：特征方程为r2+4r+4=0 所以，（r+2）2=0

得重根r1=r2=-2，所以，方程的一般解为y=(c1+c2x)e-2x

例题2用特征根法求微分方程y``+3y`+2y=0的一般解 解：特征方程的解r1=-1，r2=-2一般解

y?C1e?2x?C2e?x

2dxdx例题3 用特征根法求微分方程42?20?25x?0?的一般解

dtdt解 微分方程的特征方程为

4r?20r?25?0? 即(2x?5)?0? 其根为r1?r2?2

2

5? 故微分方程的通解为

25t5t5t x?C1e2?C2xe2? 即x?(C1?C2t)e2

例题4求下列微分方程满足所给初始条件的特解y???3y??4y?0? y|x?0?0? y?|x?0??5? 解：微分方程的特征方程为

r?3r?4?0? 即(r?4)(r?1)?0? 其根为r1??1? r2?4? 故微分方程的通解为 y?C1e??C2e?

x4x2

由y|x?0?0? y?|x?0??5? 得 ??C1?C2?0?

?C?4C??52?1x4x解之得C1?1? C2??1? 因此所求特解为 y?e??e?

例题5求微分方程的通解2y???y??y?2ex 解 微分方程的特征方程为 2r2?r?1?0? 其根为r1? Y1? r??1? 故对应的齐次方程的通解为

22

1x?C1e2?C2e?x?

因为f(x)?2ex ? ??1不是特征方程的根? 故原方程的特解设为 y*?Aex? 代入原方程得

2Aex?Aex?Aex?2ex? 解得A?1? 从而y*?ex? 因此? 原方程的通解为

1xy?C1e2?C2e?x?ex

历年考题：

07-08下求微分方程y??+4y??5y?0的一般解 解：微分方程的特征方程为 r+4r-5?0?

其根为r1?1? r2?-5? 故微分方程的通解为 y?C1e?C2e

09-10下用特征根法求微分方程y???4y??5y?0的一般解 解：微分方程的特征方程为 r?4r?5?0?

其根为r1?2?i? r2?2?i? 故微分方程的通解为 y?e(C1cos x?C2sin x)?

10-11下求微分方程的通解y???2y?+y?cosx+ex 微分方程的特征方程为 r2?2r+1?0?

其根为r1?1? r2?1? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1ex?C2xex?

设y???2y?+y?ex的特解为y*1?Ax2ex?

代入原方程解得A?1/2? 从而y*1?1/2x2ex?

设y???2y?+y? cosx 的特解为y*2?Bcosx+Csinx? 代入原方程得解出B=0，C=-1/2 从而y*2?-1/2sinx

因此? 原方程的通解为Y?C1e?C2xe+

xx2x22

x-5x 12x1xe?sinx 22