三阶行列式

教学内容

【知识结构】 1、三阶行列式 ①对角线方式展开

②按某一行(或列)展开法

a11a21a31a12a22a32

a13a23 =a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31 a33=a11a22a32a23a-a1221a33a31a23a+a1321a33a31a22a32

记 M11?a22a32

a23a33 ，A11?(?1)1?1M11；M12?a21a31

a23a33 ， A12?(?1)1?2M12；M13?a21a31

a22a32 ， A13?(?1)1?3M13 。

称M1j为元素a1j的余子式，即将元素a1j所在的第一行、第j列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称A1j为元素a1j的代数余子式，

A1j?(?1)1?jM1j（j?1,2,3)。

a11则三阶行列式就可以写成D=a21a31a12a22a32a13a23 =a11A11?a12A12?a13A13, a332、用三阶行列式求三角形的面积：若?ABC三个顶点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，则S?ABC?1x22x3x1y11y2y3x11 A、B、C三点共线的充分必要条件为x2x31y11y21?0 y31

【例题精讲】

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111例1．方程123?1的解x?____6_______.

13x11例2．方程12x10?114x?0的解为_________________．x1?2，x2?log25 ?20?x111?xx2?2x

例3. 关于x的多项式x中含x3,x2项的系数分别是 -2和4 例4.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

201abc（1）1?4?1； （2）bca

?183cab1（3）aa21bb21xc； （4）yc2x?yyx?yxx?yx y解：(1) -4 (2) 3abc?a3?b3?c3 (3) (a-b)(b-c)(c-a) (4) ?2x3?2y3

3?12 例5.设D??2?31,则2A11?A21?4A31? 0

01?4

30?23； 1例6.按要求展开行列式：D?21?23（1）按对角线展开；（2）按第一行展开；（3）按第一列展开；

解：-40

例7. 计算下列行列式：

- 2 -

00?12001(1)?130; (2)05;

215?41?1?2解：注意：这种三角型行列式的值等于其对角线上元素的乘积。

200 ?130?2?3?(?4)??24 15?4

解：按第一行展开

101105?(?1)1?3?(?1)2?

221?11?1?2

?x?y?z?6?x?y?z?1??例8.解下列方程组：（1）?3x-y?2z?7；（2）?x?y?z?3；

?5x?2y?2z?15?x?y?z?5??00?1

x=1 y=2 z=3

?ax?y?z?4?例9.当实数a,b满足什么条件时，关于x,y,z的方程组?x?by?z?3无解？有无穷多解？

?x?2by?z?4?解：D=b-ab=b(a-1) Dx=1-2b Dy=1-a

Dz=-2ab+4b-1

无解：a=1, b不等于1/2 或b=0,

无穷解：a=1.b=1/2

【备选例题】

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例10.设?ABC中，A(x1x1y111,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，求证：S?ABC?2|x2y21|； x3y31 yC A B OA1C1B1x

例11. 如右图 “杨辉三角形”，从左上角开始的4个元素构成的

二阶行列式1112的值等于1；从左上角开始的9个元素 1 1 1 1 1 1 1…

1 2 3 4 5 6…

1 3 6 10 15…

1111 4 10 20…

构成的三阶行列式123的值也等于1；猜想从左上 1 5 15…

1361 6 … 1…

1111角开始的16个元素构成的四阶行列式

123413610的值等于____1________.

141020

例12 .?ABC中三内角A、B、C所对边为a、b、c．若行列式bacb?0，且角A??3，则

bsinBc? ．32

例13.已知点A(–1, 0)，点B (1, 0)，点P(x+1, y)在x轴的下方，设a=PA?PB，b=AP?AB，

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abc=BP?BA，d=|AB|，且=0．

cd(1)求a、b、c关于x、y的表达式；

(2)求y关于x的函数关系式y=f(x)，并求当y取得最小值时P点的坐标． 解：(1) 因为PA=(–x–2, –y)，PB=(–x, –y)，所以a=PA?PB=x2+y2+2x，……2分

AP=(x+2, y)，AB=(2, 0)，b=AP?AB=2x+4，…………………………………3分 BP=(x, y)，BA=(–2, 0)，c=BP?BA= –2x，……………………………………4分 d=|AB|=2，…………………………………………………………………………5分

ab(2)因为=0，所以2(x2+y2+2x)–(2x+4)( –2x)=0，即：3x2+y2+6x=0，……7分

cd由于点P(x+1, y)在x轴的下方，所以y= –?3x2?6x，(–2

y= –?3x2?6x= –?3(x?1)2?3，(–2

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