当前位置:首页 > 2020届高考数学大二轮复习层级二专题二三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形教学案
第2讲 三角恒等变换与解三角形
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1.三角恒等变换是高考必考内容,可以单独命题,也可以与三角函数图象和性质综合,有时与解三角形综合.难度一般不大,单独命题多以选择题、填空题的形式出现,有时与其他知识综合,以解答题的形式出现.
2.解三角形主要考查正、余弦定理、面积的综合问题,有时也涉及三角恒等变换,难度中等.单独考查以选择题、填空题为主,综合考查以解答题为主.
[真题体验]
?π?1.(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈?0,?,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( )
2??
1
A. 5C.3 3
B.5 5
25D.
5
?π?2
解析:B [∵α∈?0,?,由2sin 2α=cos 2α+1得:4sin αcos α=2cos α,
2??
1222
∴2sin α=cos α,∴2sin α=1-sin α,∴5sin α=1,∴sin α=,∴sin α=
55.] 5
2.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B1b=4csin C,cos A=-,则=( )
4cA.6
B.5
- 1 -
C.4
解析:A [∵asin A-bsin B=4csin C, ∴a-b=4c, 1
∵cos A=-,
4
2
b2+c2-a21-3c1∴=-,即=-,
2bc42bc4
2
2
2
D.3
b3
∴=4×=6.] c2
3.(2019·天津卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2a,3csin
B=4asin C.
(1)求cos B的值; π??(2)求sin?2B+?的值.
6??
解:(1)在△ABC中,由正弦定理=,得bsin C=csin B,又由3csin B=4asin
sin Bsin CbcC,得3bsin C=4asin C,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=a,c=a,由余弦定理可
169a2+c2-b21
得cos B===-.
2ac24
2·a·a3
4323
a2+a2-a2
49
(2)由(1)可得sin B=1-cosB=
2
1515,从而sin 2B=2sin Bcos B=-,cos 2B=48
π?7ππ15371?22
cosB-sinB=-,故sin?2B+?=sin 2Bcos+cos 2Bsin=-×-×=-
6?8668282?35+7
. 16
[主干整合]
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β. tan α±tan β(3)tan(α±β)=.
1?tan αtan β2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α.
(2)cos 2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα.
2
2
2
2
- 2 -
2tan α(3)tan 2α=. 2
1-tanα3.辅助角公式
basin x+bcos x=a2+b2sin(x+φ),其中tan φ=.
a4.正弦定理及其变形
在△ABC中,===2R(R为△ABC的外接圆半径).
sin Asin Bsin C变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,sin A=,sin B=,sin C=,a∶
2R2R2Rabcabcb∶c=sin A∶sin B∶sin C.
5.余弦定理及其变形
在△ABC中,a=b+c-2bccos A;
2
2
2
b2+c2-a2
变形:b+c-a=2bccos A,cos A=.
2bc2
2
2
6.三角形面积公式
S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B.
121212
热点一 三角恒等变换与求值
数学 运算 素养 数学运算——三角函数式化简求值中的核心素养 三角运算是重要的“数学运算”,在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方法,灵活地选用三角公式,完成三角运算. π?tan α2?=-,则sin?2α+?的值是________. 4?π?3??tan?α+?4??
- 3 -
[例1] (1)(2019·江苏卷)已知
[解析] 方法1:由
tan αtan αtan α1-tan α2
===-, π?tan α+1tan α+13?tan?α+?4?1-tan α?
1
解得tan α=2或-. 3
π?2?sin?2α+?=(sin 2α+cos 2α) 4?2?=
22
(2sin αcos α+2cosα-1) 2
2
=2(sin αcos α+cosα)-
2
2 2
sin αcos α+cosα2
=2·- 22
sinα+cosα2tan α+12
=2·-, 2
tanα+12
π?12?将tan α=2和-分别代入得sin?2α+?=. 4?103?tan α2
方法2:∵==-,
π?3?α+tan??4??
π?π?2??∴sin αcos?α+?=-cos αsin?α+?.① 4?4?3??π?π???又sin=sin??α+?-α? 4?4???
π?π?2??=sin?α+?cos α-cos?α+?sin α=,②
4?4?2??π?2?由①②,解得sin αcos?α+?=-,
4?5?π?32?cos αsin?α+?=.
4?10?π?π?????∴sin?2α+?=sin?α+?α+?? 4?4?????
π?π?2??=sin αcos?α+?+cos αsin?α+?=. 4?4?10??[答案]
2 10
(2)(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的4??3
终边过点P?-,-?.
5??5
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