2020届高考数学大二轮复习层级二专题二三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形教学案

第2讲 三角恒等变换与解三角形

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1．三角恒等变换是高考必考内容，可以单独命题，也可以与三角函数图象和性质综合，有时与解三角形综合．难度一般不大，单独命题多以选择题、填空题的形式出现，有时与其他知识综合，以解答题的形式出现．

2．解三角形主要考查正、余弦定理、面积的综合问题，有时也涉及三角恒等变换，难度中等．单独考查以选择题、填空题为主，综合考查以解答题为主．

[真题体验]

?π?1．(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈?0，?，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )

2??

1

A. 5C.3 3

B.5 5

25D.

5

?π?2

解析：B [∵α∈?0，?，由2sin 2α＝cos 2α＋1得：4sin αcos α＝2cos α，

2??

1222

∴2sin α＝cos α，∴2sin α＝1－sin α，∴5sin α＝1，∴sin α＝，∴sin α＝

55.] 5

2．(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B1b＝4csin C，cos A＝－，则＝( )

4cA．6

B．5

- 1 -

C．4

解析：A [∵asin A－bsin B＝4csin C， ∴a－b＝4c， 1

∵cos A＝－，

4

2

b2＋c2－a21－3c1∴＝－，即＝－，

2bc42bc4

2

2

2

D．3

b3

∴＝4×＝6.] c2

3．(2019·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a,3csin

B＝4asin C.

(1)求cos B的值； π??(2)求sin?2B＋?的值．

6??

解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得bsin C＝csin B，又由3csin B＝4asin

sin Bsin CbcC，得3bsin C＝4asin C，即3b＝4a.又因为b＋c＝2a，得到b＝a，c＝a，由余弦定理可

169a2＋c2－b21

得cos B＝＝＝－.

2ac24

2·a·a3

4323

a2＋a2－a2

49

(2)由(1)可得sin B＝1－cosB＝

2

1515，从而sin 2B＝2sin Bcos B＝－，cos 2B＝48

π?7ππ15371?22

cosB－sinB＝－，故sin?2B＋?＝sin 2Bcos＋cos 2Bsin＝－×－×＝－

6?8668282?35＋7

. 16

[主干整合]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. tan α±tan β(3)tan(α±β)＝.

1?tan αtan β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.

(2)cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα.

2

2

2

2

- 2 -

2tan α(3)tan 2α＝. 2

1－tanα3．辅助角公式

basin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tan φ＝.

a4．正弦定理及其变形

在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．

sin Asin Bsin C变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶

2R2R2Rabcabcb∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

5．余弦定理及其变形

在△ABC中，a＝b＋c－2bccos A；

2

2

2

b2＋c2－a2

变形：b＋c－a＝2bccos A，cos A＝.

2bc2

2

2

6．三角形面积公式

S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.

121212

热点一 三角恒等变换与求值

数学 运算 素养 数学运算——三角函数式化简求值中的核心素养 三角运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方法，灵活地选用三角公式，完成三角运算. π?tan α2?＝－，则sin?2α＋?的值是________． 4?π?3??tan?α＋?4??

- 3 -

[例1] (1)(2019·江苏卷)已知

[解析] 方法1：由

tan αtan αtan α1－tan α2

＝＝＝－， π?tan α＋1tan α＋13?tan?α＋?4?1－tan α?

1

解得tan α＝2或－. 3

π?2?sin?2α＋?＝(sin 2α＋cos 2α) 4?2?＝

22

(2sin αcos α＋2cosα－1) 2

2

＝2(sin αcos α＋cosα)－

2

2 2

sin αcos α＋cosα2

＝2·－ 22

sinα＋cosα2tan α＋12

＝2·－， 2

tanα＋12

π?12?将tan α＝2和－分别代入得sin?2α＋?＝. 4?103?tan α2

方法2：∵＝＝－，

π?3?α＋tan??4??

π?π?2??∴sin αcos?α＋?＝－cos αsin?α＋?.① 4?4?3??π?π???又sin＝sin??α＋?－α? 4?4???

π?π?2??＝sin?α＋?cos α－cos?α＋?sin α＝，②

4?4?2??π?2?由①②，解得sin αcos?α＋?＝－，

4?5?π?32?cos αsin?α＋?＝.

4?10?π?π?????∴sin?2α＋?＝sin?α＋?α＋?? 4?4?????

π?π?2??＝sin αcos?α＋?＋cos αsin?α＋?＝. 4?4?10??[答案]

2 10

(2)(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的4??3

终边过点P?－，－?.

5??5

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