05《不规则图形面积计算初探》

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温州市第三届小学生数学小课题(论文)评比

课题名称： 不规则图形面积计算初探 课题负责人： 朱奕璋 成员： 学 校： 温州市蒲鞋市小学 年 级： 五年级（4）班 指导教师： 朱 娉 娉 联系电话（手机全号）： 13706660616

温州市教育教学研究院

不规则图形面积计算初探

——树叶面积的计算研究

〖摘要〗：不规则图形的面积如何测量呢？本文将以一片普通树叶为例，分别采用小格子估算法、体积测量法、质量比较法来计算出这片树叶的面积。通过测量过程的实践，进一步理解掌握面积、体积等数学概念，同时享受数学实践操作的趣味性，体会数学计算过程的科学性。

〖关键词〗：树叶、面积、估算、体积、容积、质量 〖研究过程〗： 一、提出问题

古希腊的一位哲学家曾经说过：“世界上没有完全相同的两片树叶。”这句话的意思是说，世界上的事物千差万别，即使同一种事物，其外在形态和内在属性也迥然各异，各有各的特点。就是一棵树上的两片树叶，其形状、颜色、大小也不会一模一样，完全相同。树叶的形状、颜色，我们都能通过比较看出差异。但树叶的大小，除了大小特别明显、用我们的眼睛能目测出来的外，我们还能采用什么样的数学方法来准确计算出树叶的面积吗？我决定试一试。

二、探究发现

长方形正方形的面积计算，是只要量出边的长度，就可以算出它的面积。树叶都是由弯弯曲曲的线围成的，是不规则图形，不能用一般的面积公式来计算。不规则图形该用什么办法计算面积呢？拿着树叶仔细观察，发现透过阳光，能清晰地看见树叶的脉络纹，一小格一小格的，虽然很不规则，但大小差别不大。假设把这些纹路格子看成是规则的，只要测量出一个小格子的面积，不就可以算出整片树叶的面积了吗？

三、解决问题

估算方法：用树叶所占的格子数计算它的面积。 估算工具：坐标纸，刻度尺，铅笔。 估算过程：

1、把树叶贴在坐标纸上，沿着树叶边缘用铅笔在坐标纸上画出树叶图形。

2、记录小格子数量：叶形框内完整的小格子有72个，不完整的小格子有32个，其中大于小格子一半以

上的有12个，另有20个小于一半以下，约合12个完整的小格子。所以叶形框所占小格子数量为72+12=84。

3、一个小格子的面积为：4.3毫米×5.0毫米=21.5平方毫米。

4、所以叶形框所占面积为：21.5平方毫米×84=1806平方毫米，此即是树叶的面积。 估算结果：树叶的面积是1806平方毫米。 过程小插曲：

刚开始用这个方法计算树叶面积时，我采用方格纸，由于所选方格纸的格子较大，一个小格子的面积为9毫米×9毫米=81毫米，画上树叶形状后，框内完整的格子只有12个，不完整的格子有20个，估计约合10个完整格子的面积，由于不完整格子估算误差很大，计算出来的面积是

（12+10）×81平方毫米=1782平方毫米。后采

用小格子的坐标纸，改良后计算的面积相对比较准确。

以下是两种纸张计算数据的比较表：

纸张类型 方格纸 坐标纸 小格子面积 9×9=81 完整 不完整 不完整估算 12格 20格 32格 ≈10格 ≈12格 面积计算 （12+10）×81=1782 （72+12）×21.5=1806 4.3×5.0=21.5 72格 从上表中可以看出，采用坐标纸方法测量，完整小格子比不完整小格子的数量明显多得

多，所以需要估计的不完整格子的面积占比较少，测算的树叶面积就相对准确。

由于坐标纸的格子很小，直接测量小格子的长宽也容易产生误差，会导致小格子的面积不准确。所以我采用测两10×10个格子的长宽，然后分别除以10来求出一个格子的长宽。

四、拓展延伸

通过实践得知，数格子的方法计算树叶面积，虽然很方便，但毕竟是一种估算的方法，其结果并非十分准确。于是我就试着去找是否还有别的计算方法。我们学过面积的概念，也涉及过面积和体积的关系，例如一个圆柱体的面积就等于圆形面积乘以柱体高度，根据这个道理，我们能否通过测量树叶形状的柱体体积来计算出树叶面积呢？如果测量体积可以计算出面积，那么通过重量同样可以求面积，比如我们经常玩的七巧板，因为同样是塑料材质，面积小的板块就比大的板要轻，两者存在着相同的比例关系。想通了这个道理，我们就可以采用下面两种测量计算方法来测算树叶面积了。

方法一：体积测量法。制作一个横截面为树叶形状的柱体，通过测量柱体体积来计算树叶的面积。首先以树叶轮廓形状为上下底面做一个柱体，将这个柱体完全侵入装满水的烧杯中，对比烧杯内水体的前后体积变化，可知树叶状柱体的体积，然后测量柱体的高度，两者相除就可以求出柱体的底的面积。

工具：量杯、烧杯、硬纸板、刻度尺、双面胶等材料

过程：

1、制作叶形柱体。照着树叶的轮廓在硬纸板上剪出两片纸树叶，再用一大块竖条纹的硬纸片沿树叶边缘卷成筒状，接着将纸树叶和纸筒粘合在一起，一个树叶形状为底的柱体就出现了。

测量了一下，柱体的高为40毫米。 2、架设测量装置。把①号烧杯倾斜的固定在架子上，往烧杯内注水，直到水平面达到烧杯出水口；①号烧杯出水口下方放置②号烧杯；①号烧杯烧杯注满水，②号烧杯内无水。

3、把树叶形状的柱体缓缓放入①号烧杯内，直到完全沉入水中。让溢出的水流入到下面的②号烧杯，直到水流停止。

4、把②号烧杯里的水倒进量筒，计算出水的体积为73毫升。

5、那么树叶形状柱体的体积就等于73毫升，换算为73000立方毫米（爸爸帮我换算的）。

6、最后计算出柱体底面的面积=73000立方毫米÷40毫米=1825平方毫米。 结论：树叶的面积是1825平方毫米 小插曲：

用这个方法做实验的时候失败了三次，第一次是叶形柱体太轻了，放到水里沉不下去，流出来的水的容量就小于柱体的面积了，后来我就在柱体内部装了玻璃球来增加重量，让柱体放到烧杯中能顺利的沉下去；第二次是柱体放进水里不久，吸水变软了，测量结果也就不准确了，后来采用胶带纸密封柱体，使之沉入水中后不再吸水；第三次是直接用量筒接水，①号烧杯里的水流出来后，大部分都流到了量筒外面，导致无法计算流出来的水的体积，后来采用了另一个烧杯（②号烧杯）来接水，接到的水再倒入量杯测量体积。

方法二：面积质量比较法。取一张密度均匀的方形纸，通过测量长宽计算出面积；然后在这张方形纸片上剪出树叶轮廓，分别测量完整纸片的质量和叶形轮廓的质量；通过两者质量和面积的比率来估算树叶的面积。其公式如下：

工具：厚度均匀的厚纸片、电子天平秤、学生尺子、剪刀。 过程：

1、用四张扑克牌粘合成一张厚纸片，记录下扑克牌的长为86毫米，宽为55毫米。计算出面积=86毫米×55毫米=4730平方毫米。

2、将长方形的厚纸片称重，电子秤显示6克。 3、在长方形厚纸片上画出叶子的轮廓，并将其剪下，将叶片形状的纸片称重，电子秤显示2.3克。

4、根据计算公式，所以叶形面积=2.3克÷6克×4730平方毫米=1813平方毫米

结果：树叶的面积为1813平方毫米。

五、体验感悟

三种方法估算出树叶的面积大体上相近，同时也验证了测算过程的科学性。三种测算方法结果比较如下表： 测量方法 小格子估算法 体积测量法 面积质量比较法 计算公式 小格子面积×小格子个数=树叶轮廓的面积 叶形底面柱体的体积÷柱体高度=叶形底面面积 方形纸面积÷方形纸重量=叶形纸面积÷叶形纸重量 测算结果 1806平方毫米 1825平方毫米 1813平方毫米 通过实践，让我感受到数学的魅力以及它带给我们的快乐。在收获知识的同时，也在感悟生命的意义，明白一片树叶虽然这样渺小，这样的微不足道，但它却是植物进行光合作用、制造养分的主要器官。据统计：一亩茂密的森林，一般每天可吸收二氧化碳67公斤，放出氧气49公斤，可供65人一天的需要。在城市，一棵树一年可以贮存一辆汽车行驶16公里所排放的污染物。此外，树叶还有药用、装饰、提供食物、挡风遮阳、减低噪声等作用。一片树叶很普通且平凡，但它经过奋斗，点缀了一棵树，更点缀了一个充满希望的春天。