导数及其应用周练练习题（有详细答案）

一、选择题： 题号 1 答案 B 二、填空题： 11. y'?2 A 3 D 4 A 5 D 6 D 7 D 8 B 9 A 10 C xcosx?sinx? ；12. 18 13.?3； 14.{a|a?0}； 15.(?1,0)?(1,??) 2x6三、解答题

π

16. [解析] f′(x)＝cosx＋sinx＋1＝2sin(x＋)＋1 (0

4

π2

令f′(x)＝0，即sin(x＋)＝－，

423

解之得x＝π或x＝π.

2

x，f′(x)以及f(x)变化情况如下表： 3x π (0，π) (π，π) 20 f′(x) ＋ － f(x) 递增 π＋2 递减 3π 20 3π 23(π，2π) 2＋ 递增 33∴f(x)的单调增区间为(0，π)和(π，2π)单调减区间为(π，π)．

2233π

f极大(x)＝f(π)＝π＋2，f极小(x)＝f(π)＝. 22

?3x?3，所以f?(2)?9. 17. 解：（Ⅰ）f?(x）（Ⅱ）f?(x)?3x?3，

解f?(x)?0，得x?1或x??1.

解f?(x)?0，得?1?x?1.

所以(??,?1)，(1,??)为函数f(x)的单调增区间，(?1,1)为函数f(x)的单调减区间.

218. 解:（1）f?(x)?3(x?2),令f?(x)?0,得x1??2,x2?222 …………………1分

∴当x??2或x?2时,f?(x)?0;当?2?x?2时,f?(x)?0，…………………2分

∴f(x)的单调递增区间是(??,?2)和(2,??)，单调递减区间是(?2,2)……3分 当x??2,f(x)有极大值5?42；当x?2,f(x)有极小值5?42.…………4分

（2）由（1）可知y?f(x)图象的大致形状及走向（图略）

∴当5?42?a?5?42时,直线y?a与y?f(x)的图象有3个不同交点，……6分 即当5?42?a?5?42时方程f(x)??有三解. …………………………………7分 （3）f(x)?k(x?1)即(x?1)(x?x?5)?k(x?1)

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∵x?1,?k?x?x?5在(1,??)上恒成立. …………………………………………9分 令g(x)?x?x?5，由二次函数的性质，g(x)在(1,??)上是增函数，

∴g(x)?g(1)??3,∴所求k的取值范围是k??3……………………………………12分

19. 解：（1）f'(x)?3mx2?6(m?1)x?n.因为x?1是函数f(x)的一个极值点.所以f'(1)?0

即3m?6(m?1)?n?0,所以n?3m?6

2 （2）由（1）知，f'(x)?3mx2?6(m?1)x?3m?6?3m(x?1)[x?(1?)]

m2当m?0时，有1?1?，当x为化时，f(x)与f'(x)的变化如下表：

m222(1?,1)x (1,??) 1 (??,1?) 1? mmmf'(x) f(x) - 单调递减 0 极小值 + 0 极大值 - 单调递减 单调递增 22故由上表知，当m?0时，f(x)在(??,1?递减.

22)单调递减，在(1?,1)单调递增，在(1,??)上单调 mm22(m?1)x??0，即mm（3）由已知得f'(x)?3m，即mx2?2(m?1)x?2?0又m?0，所以x2?1222(m?1)x??0,x?[?1,1] 设g(x)?x2?2(1?)x?，其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，所以

mmmm22??g(?1)?0?1?2???0444 解之得??m又m?0所以??m?0即m的取值范围为(?,0) ??mm?333?g(1)?0???1?0x2?

20.（1）由题意：f(x)?lnx?x?bx，?f(x)在(0,??)上递增，?f?(x)?21?2x?b?0对xx?(0,??)恒成立，即b?11?2x对x?(0,??)恒成立，?只需b?(?2x)min， xx?x?0，?21时取“=”，?b?22，?b的取值范围为(??,22) ?2x?22，当且仅当x?2x?f(x1)?lnx1?ax12?bx1?0?lnx1?ax12?bx1（2）由已知得，?，两式相减，得： ??22?f(x2)?lnx2?ax2?bx2?0?lnx2?ax2?bx2lnx1x?a(x1?x2)(x1?x2)?b(x1?x2)?ln1?(x1?x2)[a(x1?x2)?b]， x2x2由f?(x)?1?2ax?b及2x0?x1?x2，得： xf?(x0)?x2112?ln1 ?2ax0?b??[a(x1?x2)?b]?x1?x2x1?x2x2x0x1?x2第6页（共8页）

x1?1)2(x?x)xxx2x1112?[?ln1]?[?ln1]，令t?1?(0,1)，

xx2x1?x2x1?x2x2x1?x2x2(1?1)x22(2t?2(t?1)2且?(t)??lnt(0?t?1)，???(t)???0，??(t)在(0,1)上为减函数，

t?1t(t?1)2??(t)??(1)?0，又x1?x2，?f?(x0)?0

2x2a2(x3?ea)??(x?0) 21. 解：（1）F?(x)?f?(x)?g?(x)?exex

①当a?0时,F?(x)?0恒成立

F(x)在(0,??)上是增函数，F(x)F只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值……3分

②当a?0时，F(x)?若0?x?若x?

2(x?ea(x?ea)(x?0)，

ex

ea，则F?(x)?0,F(x)在(0,ea)上单调递减；

ea，则F?(x)?0,F(x)在(ea,??)上单调递增，

?当x?ea时，F(x)有极小值，也是最小值，

即F(x)min?F(ea)?a?2alnea??alna…………6分 所以当a?0时，F(x)的单调递减区间为(0,ea)

单调递增区间为(ea,??)，最小值为?alna，无最大值…………7分

（2）方法一，若f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点， 网]

由（1）的结论可知F(x)min??alna?0得a?1…………10分

则方程f(x)?g(x)?0有且只有一解，所以函数F(x)有且只有一个零点…………8分[来源:学_科_

x2?2lnx?0此时，F(x)?f(x)?g(x)?F(x)) 0min?F(e?e ?f(e)?g(e)?1,?f(x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为(e,1)

又

f?(e)?g?(e)?2e?f(x)与g(x)的图象在点(e,1)处有共同的切线，

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其方程为y?1?2e(x?e)，即y?2ex?1…………13分

综上所述，存在a?1，使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点(e,1)，且在该点处的公切线方

程为y?2ex?1.…………14分

方法二：设f(x)与g(x)图象的公共点坐标为(x0,y0)，

2?x0

??2alnx0f(x)?g(x0)??e0根据题意得?'即 ?'2x2a?f(x0)?f(x0)?0??x0?e2x01由②得a?，代入①得lnx0?,?x2?e从而a?1…………10分

e2

此时由（1）可知F(x)min?F(e)?0?当x?0且x?

e时，F(x)?0,即f(x)?g(x)

因此除x0?e外，再没有其它x0，使f(x0)?g(x0)…………13分

故存在a?1，使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得

公共点坐标为(e,1)，公切线方程为y?

2ex?1…………14分

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