2008-2013江苏高考数学试卷的特点透视及2014年命题趋势分析

第20题

【2008．20】已知函数f1(x)?3x?p1，f2(x)?2?3x?p2（x?R,p1,p2为常数）．函数f(x)定义为：

对每个给定的实数x，f(x)???f1(x),若f1(x)?f2(x)

?f2(x),若f1(x)?f2(x)（1）求f(x)?f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p1,p2表示）；

（2）设a,b是两个实数，满足a?b，且p1,p2?(a,b)．若f(a)?f(b)，求证：函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为

b?a（闭区间[m,n]的长度定义为n?m） 2【考查情况】第20题是一道函数题，这道题目有一定难度，能考查学生的综合解题能力，也考查了孩子数学学习的潜力。这道题绝大多数考生可能都做不出来，只有数学学习能力较强的考生能做出来。这道题目的难度主要是题型比较新颖，题目中也包含不少字母，考生们可能看不懂题目。应该说，从这道题也反映出，考生们对数学符号的理解能力有所欠缺。

【2009．20】设a为实数，函数(1) 若

f(x)?2x2?(x?a)|x?a|.

f(0)?1，求a的取值范围；

(2) 求f(x)的最小值；

(3) 设函数h(x)?f(x),x?(a,??)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)?1的解集. ．．．．

【考查情况】本题选材含参绝对值问题，是大多学生的死穴，对分类讨论，分段函数等难点作了充分的演绎。特别第三小问需要学生具备很强的分类意识和较强的运算能力。x?(a,??)时，h(x)?1得

3x2?2ax?a2?1?0，??4a2?12(a2?1)?12?8a2

当a??6或a?6时，??0,x?(a,??)；

22?a?3?2a2a?3?2a266)(x?)?0，再分小类即可。 当?时，??0,得?(x??a??3322?x?a?【2010．20】设f(x)使定义在区间(1,+?)上的函数，其导函数为f ?(x).如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x?(1,+?)都有h(x)>0，使得f ?(x)]=h(x)(x2－ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a). b+2

⑴设函数f(x)=lnx + (x>1)，其中b为实数

x+1

①求证：函数f(x)具有性质P(b) ②求函数f(x)的单调区间

⑵已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1,x2?(1,+?)，x11，?>1，若|g(?)－g(?)|<|g(x1)－g(x2)|,求m的取值范围 【考查情况】本题考查函数导数和单调性，对学生审题能力要求很高。

【2011．20】设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列{an}的首项a1?1，前n项和为Sn，已知对任意整

数k?M，当整数n?k时,Sn?k?Sn?k?2(Sn?Sk)都成立 （1）设M?{1},a2?2,求a5的值； （2）设M?{3,4},求数列{an}的通项公式

【考查情况】本题把数列和集合知识的考查作为压轴尚属首次，要求较高，出乎预料。

【2012．20】已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an?1?an?bnan?bn22，n?N*，

（1）设bn?1（2）设bn?1??bn??b??1?，n?N*，求证：数列??n?aan???n?2???是等差数列； ??2?bn，n?N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值． an【考查情况】本题同10年一样，数列把关，第一问属较为基础，第二问难度大，对学生综合能力要求较高。

【2013．20】设函数f?x??ln x?ax，g?x??ex?ax，其中a为实数.

(1) 若f?x?在?1,???上是单调减函数，且g?x?在?1,???上有最小值，求a的范围； (2) 若g?x?在??1,???上是单调增函数，试求f?x?的零点个数，并证明你的结论. 解：（1）

f(x)'?x?1?a g(x)'?ex?a

由题意：f(x)'?0对x??1,???恒成立 即a?x对x??1,???恒成立

?1 ?a?1

g?x?在?1,???上有最小值

' a?0时，g(x)?0恒成立，g(x)在?1,???无最值

a?0时，由题意lna?1 a?e 综上：a的范围是：a?e （2）

g?x?在??1,???上是单调增函数

' ?g(x)?0对x???1,???恒成立 即a?e对x???1,???恒成立

x ?a?e

令f(x)?0，则a??1lnx x

则有f(x)的零点个数即为y?a与y?lnx图像交点的个数 xlnx?x?0? x1?lnx' 则h(x)?

x2 令h(x)? 易知h(x)在?0,e?上单调递增，在?e,???上单调递减 在x?e时取到最大值h(e)?1?0 elnx??? xlnx?0 当x???时，h(x)?x 当x?0时，h(x)? ?h(x)图像如下

所以由图可知：a?0时，f(x)有1个零点 0?a? a?1时，f(x)有2个零点 e1时，f(x)有1个零点 e1 综上所述：a?0或a?时，f(x)有1个零点

e1 0?a?时，f(x)有2个零点

e函数综合题从简约型（如2000年、2006年）到竞赛题型（如2007年，2008年），再到近二年的导数问题改编型，这种变化完全在于命题人的趣向。2012年的函数题与2007年的函数题同出一辙，命题人的这种做法，我们要研究以前的高考题。

第三部分 试题分析与命题趋势：

基本初等函数与函数的性质

试题分析与命题趋势：函数是高考数学的重要内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，通过对近三年新课标卷考题的研究发现，考点可总结为六类：一是分段函数的求值问题，二是函数的性质及其应用，三是基本函数的图像和性质，四是函数图像的应用，五是方程根的问题，六是函数的零点问题。涉及到得函数思想也是相当的丰富，如分段函数问题常与分类讨论思想相结合，有关方程根的情况判断常涉及函数与方程思想和等等价转化思想，研究函数的图像问题和基本函数的性质时常利用数形结合思想等。高考常命制两道小题，一道基础题目，出现在前5道题目中，常考查基本函数的性质或零点问题，另一道常以压轴的小题出现，常与方程的根或复合函数为背景考查，有一定的难度和灵活性。 1.以分段函数为表示形式考查求值问题是一类基础题目，常与指对数运算结合在一起，同时也考查学生能否灵活运用分类讨论思想的解题能力。

2.以二次函数、分段函数、对数函数等为载体考查函数的性质是热点。研究函数的性质可充分利用函数的各种性质所反映的函数特点，来解决函数的相关问题.命题思路常以函数的各种性质相互交融，只有仔细审题，充分挖掘，把题目隐含的条件一一挖掘出来，综合利用性质才能达到解决问题的目的.

3.与指数（对数）函数有关的综合问题的考查，以函数某个性质为核心，结合其他知识，把问题延伸，主要考查知识的综合运用和能