2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)

（2）直线l的方程可设为

，设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．

由求根公式化简整理得，

假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即∵

．

，

==

=

∴

求得m=﹣1．

．

因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．

21．（12分）已知函数h（x）=（x﹣a）ex+a． （1）若x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；

（2）当a=3时，若对?x1∈[﹣1，1]，?x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22﹣2bx2

﹣ae+e+

成立，求b的范围．

【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值． （2）令

，“对?x1∈[﹣1，1]，?x2∈[1，2]，使得

成立”等价于“f（x）在[1，2]上的最小值不大于

h（x）在[﹣1，1]上的最小值”．推出h（x）min≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值范围． 【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）ex，令h'（x）=0得x=a﹣1．

当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在[﹣1，1]上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）ex+a递增，h（x）的最小值为

．

当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈[﹣1，a﹣1]上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈[a﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣ea﹣1+a．

当a﹣1≥1即a≥2时，在[﹣1，1]上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．

综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为

，当a≥2时h（x）的最小值为

（1﹣a）e+a，当0＜a＜2时，h（x）最小值为﹣ea﹣1+a． （2）令

，

由题可知“对?x1∈[﹣1，1]，?x2∈[1，2]，使得成立”

等价于“f（x）在[1，2]上的最小值不大于h（x）在[﹣1，1]上的最小值”． 即h（x）min≥f（x）min．

由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3． 当a=3时，①当b≤1时，由

②当1＜b＜2时，由

③当b≥2时，

得得

，

，与b≤1矛盾，舍去．

，

，与1＜b＜2矛盾，舍去．

，

，x∈[1，2]，

由得．

．

综上，b的取值范围是

【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性与函数的最值的关系，考查分析问题解决问题的能力．

22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣2cosα=0． （1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．

，（t为参数，

【分析】（1）曲线C的极坐标方程转化为ρ2sin2α=2ρcosα，由此能求出曲线C的直角坐标方程．

（2）把直线的参数方程化入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|=

时，|AB|取最小值2．

【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣2cosα=0， ∴ρ2sin2α=2ρcosα，

∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x． （2）直线l的参数方程

，（t为参数，0＜θ＜π），

，由此能求出当

把直线的参数方程化入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0， 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， 则

|AB|=|t1﹣t2|==

=

，

，t1?t2=﹣

，

∴当时，|AB|取最小值2．

【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的最小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．

（1）若?x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围； （2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．

【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；

（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．

【解答】解：（1），

当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3， 所以﹣3≤f（x）≤3， ∴m≥﹣3；

（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0， 即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，

当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集； 当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15， 即x2﹣10x+22≤0，∴

；

当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15， 即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6； 综上，原不等式的解集为

．

【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．