2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4同步作业与测评：2.1 参数方程的概念 Word版含答案

π??0<θ<取∠QBP＝θ，θ为参数?， 2???π

则∠ABO＝2－θ．

?π?

在Rt△OAB中，|OB|＝acos?2－θ?＝asinθ．

??在Rt△QBP中，|BQ|＝acosθ，|PQ|＝asinθ． ∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为 ?x＝a?sinθ＋cosθ?，?π???θ为参数，0<θ<2?．

???y＝asinθ

求曲线参数方程的主要步骤

第一步，画出轨迹草图． 第二步，选择适当的参数．

第三步，建立点的坐标与参数的函数关系式．

【跟踪训练2】 已知弹道曲线的参数方程为 π

x＝2tcos??6，?π12y＝2tsin－gt??62

(t为参数)．

(1)求炮弹从发射到落地所需时间； (2)求炮弹在运动中达到的最大高度．

π12

解 (1)令y＝0，则2tsin6－2gt＝0， 2

解之得t＝g．

2

∴炮弹从发射到落地所需要的时间为g． π11

(2)y＝2tsin6－2gt2＝－2gt2＋t 2?1?1??1?21?t－?－2? ＝－2g?t2－gt?＝－2g??

????g?g?1?1?1

＝－2g?t－g?2＋2g，

??11

∴当t＝g时，y取最大值2g．

1

即炮弹在运动中达到的最大高度为2g．

1．曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x，y间的间接联系．在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值． 2．求曲线参数方程的主要步骤

第一步，建立直角坐标系，设(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)．

第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．

第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．

?x＝1＋sinθ，

1．方程?(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( )

y＝sin2θ??31?A．(1，1) B．?2，2?

??

?2＋3?33?1?

? C．?，? D．?，－2??22??2答案 C

?x＝1＋sinθ，

解析 将点的坐标代入方程：?解θ的值．若有解，则该点在

?y＝sin2θ，曲线上．

?x＝t2＋1，

2．若点P(3，b)在曲线?(t为参数)上，则b的值为( )

?y＝－2t－1A．－5 B．3 C．5或－3 D．－5或3 答案 D

解析 由点P在曲线上，得t2＋1＝3，所以t＝±2． 当t＝2时，y＝b＝－5；当t＝－2时，y＝b＝3．

2

?x＝1＋t，

3．曲线?(t为参数)与x轴的交点坐标是( )

y＝4t－3?

25

A．(1，4) B．16，0

2525

C．(1，－3) D．16，0，－16，0 答案 B

3

解析 令y＝0，得t＝4． 325将t＝4代入x＝1＋t2，得x＝16． 25

所以曲线与x轴的交点坐标为16，0．

4．曲线(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为( ) A．(－1＋cosθ，sinθ) B．(1＋sinθ，cosθ) C．(－1＋2cosθ，2sinθ) D．(1＋2cosθ，2sinθ)

答案 D

?x－1＝2cosθ，?x＝1＋2cosθ，

解析 可设?∴?

?y＝2sinθ，?y＝2sinθ，∴曲线x的点可表示为(1＋2cosθ，2sinθ)．

?x＝1，

5．曲线?(t为参数)与圆x2＋y2＝4的交点坐标为________．

?y＝sint＋1答案 (1，3)

解析 由题意得12＋(sint＋1)2＝4， ∴(sint＋1)2＝3， ∴sint＋1＝±3．

又sint＋1≥0，∴sint＋1＝3， ∴交点坐标为(1，3)．

A级：基础巩固练

一、选择题

1．下列方程可以作为x轴的参数方程是( )

A．??x＝t2

＋1，?y＝0 B．??x＝0，?y＝3t＋1

C．??x＝1＋sinθ， ?x＝4t＋1，?y＝0 D．??y＝0

答案 D

解析 x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0． ?

t2．若点P(4，a)在曲线??x＝2

，?( ?y＝2t

(t为参数)上，则a等于A．4 B．42 C．8 D．1 答案 B

解析 根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得

)