高等代数（北大版）第9章习题参考答案

第九章 欧氏空间

1.设??aij是一个n阶正定矩阵,而

????(x1,x2,?,xn), ??(y1,y2,?,yn),

在Rn中定义内积(?,?)?????,

1) 证明在这个定义之下, Rn成一欧氏空间； 2) 求单位向量

?1?(1,0,?,0), ?2?(0,1,?,0), … , ?n?(0,0,?,1)，

的度量矩阵；

3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

?是Rn上的一个二元实函数，且 (?,?)????解 1)易见

(1) (?,?)??????(????)?????????????(?,?)， (2) (k?,?)?(k?)????k(????)?k(?,?)，

(3) (???,?)?(???)???????????????(?,?)?(?,?)， (4) (?,?)???????ai,jijxiyj，

iji,j由于A是正定矩阵，因此

?axiyj是正定而次型，从而(?,?)?0，且仅当??0时有

(?,?)?0。

2)设单位向量

?1?(1,0,?,0), ?2?(0,1,?,0), … , ?n?(0,0,?,1)，

的度量矩阵为

B?(bij)，则

?a11a12??a22a22bij?(?i,?j)?(0,?,1,?0)?(i)????a?n1an2因此有B?A。

?????0?a1n???????a2n???1(j)aij(i,j?1,2,?,n)， ????=，????ann???0???4) 由定义，知

(?,?)??aijxiyji,j??(?,?)?，

?axxijii,jj??(?,?)?，?ai,jijyiyj，

故柯西—布湿柯夫斯基不等式为

?axyijii,jj??axx?aijiji,ji,jijyiyj

2.在R4中,求?,?之间??,??(内积按通常定义)，

设:

1) ??(2,1,3,2), ??(1,2,?2,1)， 2) ??(1,2,2,3), ??(3,1,?5,1)， 3) ??(1,1,1,2), ??(3,2,?1,0)。 解 1)由定义,得

(?,?)?2?1?1?2?3(?1)?2?1?0，

所以

??,??? 2)因为

?2。

(?,?)?1?3?2?1?2?5?3?1?18， (?,?)?1?1?2?2?2?2?3?3?18， (?,?)?3?3?1?1?2?2?3?3?36，

cos??,???所以

181836?22，

??,???4。 3)同理可得

?(?,?)?3, (?,?)?17, (?,?)?3, cos??,????1??,???cos所以

377，

377。

通常为?,?的距离，证明；

3. d(?,?)???? d(?,?)?d(?,?)?d(?,?)。 证 由距离的定义及三角不等式可得

d(?,?)?????(???)?(???)

????????

?d(?,?)?d(?,?)。

4在R4中求一单位向量与?1,1,?1,1?,?1,?1,?1,1?,?2,1,1,3?正交。 解 设???x1,x2,x3,x4?与三个已知向量分别正交，得方程组

?x1?x2?x3?x4?0??x1?x2?x3?x4?0， ?2x?x?x?3x?0234?1因为方程组的系数矩阵A的秩为3，所以可令 x3?1?x1?4,x2?0,x4??3，即???4,0,1,?3?。

再将其单位化，则 ??即为所求。 5．设?1,?2,???n是欧氏空间

11?4,0,1,?3?， ??a26V的一组基，证明：

1） 如果??V使??,?i??0?i?1,2,??,n?,，那么??0。

2） 如果?1,?2?V使对任一??V有??1,?????2,??，那么?1??2。 证 1)因为?1,?2,???n为欧氏空间

V的一组基，且对??V，有

??,?i??0?1,2,??,n? ，

所以可设??k1?1?k2?2???kn?n， 且有

??,?????,k1?1?k2?2????kn?n?

?k1??,?1??k2??,?2?????kn??,?n?即证??0。

2)由题设，对任一??V总有?11????2,??，特别对基?i也有

????11?i????2,?i?，或者??1??2,?i??0?i?1,2,??,n?，

再由1)可得?1??2?0，即证?1??2。

6设?1,?2,?3是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：

1?2?1?2?2??3?31?2??2?1??2?2?3?

31?3???1?2?2?2?3?3?1?也是一组标准正交基。 证 因为

91 ???2?1,2?1???2?2,??2?????3,2?3??

91 ??4?(?2)?(?2)??0，

9同理可得

??1,?3????2,?3??0， 另一方面 ??1,?1????1,?2??1?2?1?2?2??3,2?1??2?2?3?

1?2?1?2?2??3,2?1?2?2??3? 91??4??1,?1??4??2,?2?????3,??3?? 91?(4?4?1)?1， 9同理可得

??2,?2????3,?3??1，

即证?1,?2,?3也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。

7.设?1,?2,?3,?4,?5也是五维欧氏V空间中的一组标准正交基, V1?L??2,?2,?3?，其中 ?1??1??5 ,

?2??1??2??4 , ?3?2?1??2??3，

求V1 的一组标准正交基。

解 首先证明?1,?2,?3线性无关.事实上，由