2019年高三文科数学一轮复习：平面向量的概念及线性运算(解析版附后)

|a|bab

C [|a|＝|b|?a＝|b|?a与b共线且同向?a＝λb且λ>0.B，D选项中a和b可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0.]

→→→

5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝→→→→→→→

2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC( ) A．反向平行 C．互相垂直

B．同向平行

D．既不平行也不垂直

→→→→1→

A [由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋3BC， →→→→1→BE＝BA＋AE＝BA＋3AC， →→→→1→CF＝CB＋BF＝CB＋3BA，

→→→→1→→→因此AD＋BE＋CF＝CB＋3(BC＋AC－AB) 1→→2→

＝CB＋3BC＝－3BC，

→→→→

故AD＋BE＋CF与BC反向平行．] 二、填空题

→→→→

6．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，OD满足等→→→→

式OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状为________． →→→→→→→→

平行四边形 [由OA＋OC＝OB＋OD得OA－OB＝OD－OC， →→

所以BA＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形．]

→→→

7．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝5e1，DC＝3e2，则OC＝________.(用e1，e2表示)

35→1→1→e1＋2e2 [在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以OC＝2AC＝2(AB2

→1→→1

＋AD)＝2(DC＋BC)＝2(5e1＋3e2)．]

x→→→→→

8．(2018·郑州模拟)在△ABC中，CM＝3MB，AM＝xAB＋yAC，则y＝________.

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→→→3→

3 [由CM＝3MB得CM＝4CB，

→→→→3→→3→→3→1→所以AM＝AC＋CM＝AC＋4CB＝AC＋4(AB－AC)＝4AB＋4AC， 31x

所以x＝4，y＝4，因此y＝3.] 三、解答题

9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝→→→→

2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.

图4-1-1

→1→→11[解] AD＝2(AB＋AC)＝2a＋2b.

→→→→2→→1→→AG＝AB＋BG＝AB＋3BE＝AB＋3(BA＋BC) 2→1→→1→1→11＝3AB＋3(AC－AB)＝3AB＋3AC＝3a＋3b. 10．设两个非零向量e1和e2不共线．

→→→

(1)如果AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2， 求证：A，C，D三点共线；

→→→

(2)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，CD＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值.

→→→

[解] (1)证明：∵AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2， 11→→→→

∴AC＝AB＋BC＝4e1＋e2＝－2(－8e1－2e2)＝－2CD， →→

∴AC与CD共线.

3分 5分

→→

又∵AC与CD有公共点C，∴A，C，D三点共线.

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→→→

(2)AC＝AB＋BC＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2. ∵A，C，D三点共线，

→→→→∴AC与CD共线，从而存在实数λ使得AC＝λCD， 即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，

?3＝2λ，34得?解得λ＝2，k＝3. ?－2＝－λk，

7分

9分

12分

B组 能力提升

(建议用时：15分钟)

→

1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP＝→??→ABAC→?，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( ) ＋OA＋λ??→→??|AB||AC|?A．外心 C．重心

B [作∠BAC的平分线AD(图略)． →??→ABAC→→?， ＋∵OP＝OA＋λ??→→??|AB||AC|?→??→ABAC→? ＋∴AP＝λ??→→??|AB||AC|?

→AD

＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，

→|AD|→λ′→∴AP＝·AD，

→|AD|

→→

∴AP∥AD.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心．]

2．(2017·辽宁大连高三双基测试)如图4-1-2，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠→→→ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝________.

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B．内心 D．垂心

图4-1-2

2

，AH⊥BC，所以BH＝1.

3 [因为AB＝2，∠ABC＝60°

1?→1→?1→→1→1→→

因为点M为AH的中点，所以AM＝2AH＝2(AB＋BH)＝2?AB＋3BC?＝2AB＋

??1→112→→→

BC，又AM＝λAB＋μBC，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝6263.] →→→→→

3．已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.

→→

[解] 由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三→→

点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，

整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.

?t－3＋3k＝0，因为a，b不共线，所以有?

?t－2k＝0，

66

解之得t＝5.故存在实数t＝5使C，D，E三点在一条直线上．

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